[고등학교 2학년 수학Ⅰ] 삼각함수 단원 요점 정리

고등수학1 삼각함수 요점 정리

삼각함수(삼각함수, 사인법칙과 코사인 법칙) 요점 정리

오늘은 삼각함수에 대해 알아볼 예정이다. 필자는 과거 중학교 시절 삼각비에 대해 배웠을 때 정말 어렵게 느껴졌을 시기가 있었다. 그 이유는 당시에 배우면서 특유의 기호(sin, cos, tan)에 대해 압도 당했고, 배우면서 이걸 배워서 어디에 활용하는지를 이해하지 못했기 때문이었다. 하지만 이 단원을 배우면서 기호와도 친해졌고, 왜 이걸 배워야 하는지에 대해서는 알게 된것 같다. 여러분들도 함께 그 느낌을 가졌으면 좋겠다.

 

1. 개요

삼각비는 직각삼각형에서 직각을 제외한 다른 각(x)에 의존하여 정의되는 길이사이의 비율을 의미한다. 빗변과 높이, 빗변과 밑변, 밑변과 높이의 비율을 각각 구분하기 위해 sin, cos, tan라는 기호가 존재하며 이 비율은 삼각형의 크기에 상관없이 일정하다. 삼각형의 넓이나 다른 요소들을 구할때도 유용하게 사용되고 삼각함수의 경우 주기를 가지고 움직이는 함수를 표현할때 굉장히 유용하게 사용되곤 한다. 

 

2. 단원의 위치

삼각함수 단원은 수학Ⅰ을 삼등분하였을 때 두 번째(가운데) 단원에 위치한다. 단원의 중앙에 위치했다는 것은 단순히 중간고사와 기말고사에 모두 걸쳐서 들어간다는 의미도 있지만 제대로 학습하기에는 충분한 시간이 있지 않다는 것을 의미하기도 하다. 왜냐하면 중간고사에서도 일부분만 시험범위에 있어 소홀해질 수 있고, 기말고사에서도 일부문만 들어가기에 소홀해질 수 있기 때문이다. 이건 가운데에 위치한 모든 단원에 해당되는 내용이 아니냐고? 아니다. 다른 단원은 그러려니 해도 내용을 파악하는 데는 무리가 없지만 삼각함수는 그렇게 넘어가기에는 학생들이 어려워하는 단원이라 배울 때 애먹는 모습을 많이 보았다. 위치 상 제대로 학습하기 껄끄러운 단원이다. 

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용을 의도적으로 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다. 

 

3-1. 삼각함수

삼각함수 단원의 첫 시작을 함에 있어 호도법을 그냥 넘어갈 수는 없다. 개인적으로는 지금도 헷갈리는 단위인데 radian은 실생활에서 사용하는 360분법 각도(º)를 대체하는 수학적인 단위로 당연히 직관적이지 않다. 그럼 왜 잘 살고 있었는데, 심지어 지금도 우린 실생활에서 각도(º)를 쓰고 있는데 이것을 배우는 것인가 궁금할 수 있다. 우리가 radian을 배우는 이유는 속칭 각도(º)가 근본이 없기 때문이다. 왜 360 º가 한 바퀴인지 알고 있는가? 이 이유는 전혀 수학적이지 않다. 정확하지 않을 수 있지만 과거 메소포타미아인들이 1년을 360일로 알고 있었고 60진법을 사용했다는 점에서 360을 완전한 숫자로 인식했다는 설이 유력하다. 즉, 그냥 쓴 거다. 전체를 큰 의미 없이 360등분 한 것을 하나의 단위로 사용하는 것은 수학적이지 못할뿐더러 정확한 작도를 불가능하게 만든다. 따라서 그 정의가 수학적으로 명확한 단위가 필요했으며 그 대안이 바로 radian인 것이다. 이제 정당성은 부여했으니 다시 돌아가보자. 삼각함수에서는 radian을 정의역으로 하기 때문에 당연히 익숙해져야 하며 앞에 언급한 것처럼 필자는 지금도 헷갈리는 걸 보면 수험생활 내내 헷갈릴 수 있다. 호도법에 익숙해지도록 하자.

호도법에 익숙해졌다면 이제 삼각함수의 그래프를 그려보아야 한다. 유리ㆍ무리함수가 그랬듯이, 지수ㆍ로그함수가 그랬듯이, 삼각함수도 개형이 있다. y=a*sin(bx)+c, y=a*cos(bx)+c, y=a*tan(bx)+c. 각 계수의 크기별로 부호별로 완벽하게 그릴 줄 알아야 한다. 개형이라는 게 그렇듯 휘어있는 곡률까지 맞춰서 그릴 필요는 없다. 다만 a, b, c의 대소관계에 따라 상대적으로 어떤 위치에 있는지를 알아야 한다. 많이 헷갈릴 것이므로 지독한 연습이 필요하다.

많은 학생들이 포기하는 단원이기도 해서 굳이 식까지 써가며 설명하게 되는데 이 단원의 가장 중요한 포인트는 그래프이기 때문이다. 삼각함수의 방정식도 부등식도 결국 그래프를 그려야만 답을 찾을 수 있다. 우리가 찾는 삼각함수의 함숫값은 어차피 특수각이기 때문에 방정식을 푼다기보다는 그래프를 그려 삼각함수의 대칭성을 이용하여 해를 찾는 것이 일반적인 방법이다. 따라서 어느 부분에서 이 그래프가 반복되는지 어느 부분에서 이 그래프가 대칭인지를 잘 파악하도록 하자.

 

3-2. 사인법칙과 코사인법칙

삼각함수가 이래서 쓸모가 있구나라는 것을 피부로 느낄 수 있는 단원이다. 물론 대학을 가기 위한 길목에서 이런 한가한 소리를 하는 건 의미 없지만 삼각함수가 우리를 괴롭히기 위해 억지로 만들어진 건 아니구나를 알 수 있는 단원이다. 이 단원에서는 우선 제목에서 보다시피 법칙이 나온다. 공식이 나오기 때문에 그 증명과정과 결과물은 우선 외우고 이해하고 있어야 한다. 결과야 당연히 외워야 하지만 증명과정까지 외워야 한다고 하는 이유는 그 과정에서 나오는 발상이 다른 문제를 풀 때도 도움이 되기 때문이다. 사인법칙의 경우, 외접원의 성질을 이용해서 직각삼각형을 만들어내는 접근법이라던가. 제1코사인법칙의 경우, 수선을 내려 양쪽에서 projection 시키는 접근법은 삼각함수를 어떻게 일반 삼각형에서 활용할 수 있는지를 단적으로 보여주는 증명과정이다. 이렇게 과정과 결과를 모두 본인의 것으로 만들었다면 한 단계 더 나아가보자.

공식을 무작정 외우는 것에서 그치지 말고 삼각형의 6요소(세 변, 세 각) 중 어떤 요소가 있을 때 어떤 요소를 구할 수 있으며 만약 구할 수 없다면 추가적으로 필요한 요소는 무엇인지를 생각해 보자. 즉, 문제를 보고 바로 덤비지 말고 삼각형의 상황을 넓은 시야로 바라보는 연습을 해보면 좋을 것 같다. 단순한 예시로는 제2코사인법칙의 경우, "삼각형의 세 변을 알면 삼각형의 모든 각도를 알 수 있다"는 식의 의미부여는 해보라는 뜻이다. 이 연습이 잘되면 훨씬 여유를 가지고 넓은 시야로 문제를 풀 수 있을 것이다.

 

4. 정리

삼각함수는 많은 학생들이 포기하는 단원이기도 해서 마음이 아프지만 정작 수능에서도 그렇게 어렵게 나오는 단원도 아니거나와 한번 허들을 넘으면 오히려 수준이 비슷하기 때문에 특별히 공을 들여 공부하면 좋을 것 같다.