[고등학교 1학년 수학 하] 함수 단원 요점 정리

고등학교 수학 하 함수 단원 요점 정리

함수 단원(함수, 유리함수, 무리함수) 요점 정리

함수의 경우 수학을 배우는 학생들이 가장 싫어하는 단원이 아닐까 싶다. 학생들과 대화하다 보면 함수 그 자체가 어려운 것이 아니라 통상 함수 단원에서 나오는 문제들이 워낙 다양하고 복합적이다 보니 생기는 두려움이 더 큰 것 같다. 정말 함수 그 자체의 개념을 모르는 학생들은 많지 않을 것으로 판단되기 때문에 더욱 이 글이 가치가 있지 않을까 생각된다. 

 

1. 개요

함수는 x 하나에 y가 오직 하나 결정되는 그 관계를 의미한다. 쉽게 얘기하면 x는 y를 대상으로 무조건 화살을 쏘아야만 하고, 단 하나만의 화살을 쏘아야 한다. 정도의 의미가 되겠다. 그래프 관점에서 설명하자면 어떤 그래프에서 정의역 범위 내에서 임의의 세로선을 그렸을 때 세로선과 오직 하나의 교점만 생겨야 함수라고 할 수 있다. 함수의 정의와 연결시켜 보면 왜 그런지는 쉽게 알 수 있을 것이다. 추가적으로 일대일대응의 경우 여기서 가로선을 그렸을 때도 오직 하나의 교점만 생기면 우리는 일대일대응이라고 말할 수 있다. 

 

2. 단원의 위치

함수 단원은 수학 하를 삼등분하였을 때 두 번째 단원에 위치한다. 항상 중간고사 범위에서 단원의 전체가 포함되지 않고 나누어져(주로 중간고사: 함수 / 기말고사: 유리함수, 무리함수로 나뉜다) 범위에 들어가다 보니 본의 아니게 함수를 중간고사, 기말고사 두 번 다 공부하게 되는데 함수는 그럴만한 단원이다. 함수라는 단어와 그 수식에 많은 학생들이 지레짐작 겁을 먹는 경우가 많은데 아주 고등적인 내용은 나오지 않으니 겁먹을 필요 없다.

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용은 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다.

 

3-1. 함수

함수 단원은 초등학교 때 배웠던 그 개념을 있어보이게 설명하고 기호화시킨 것에 불과하다. 즉, 책에 나오는 개념만 본다면 많은 학생들이  "이걸 누가 몰라"라는 생각을 할 것이다. 그게 맞는 생각이기도 하다. 하지만 읽다가 역함수가 나오고 합성함수가 나오면서 슬슬 헷갈리다가 문제 속에서 이들이 함께 춤을 추고 잔치를 벌이면 어느 순간 길을 잃고 헤롱거리는 자신을 발견하기 쉽다. 이 단원을 어려워하지 않을 수 있는 포인트는 역함수와 합성함수를 푸는 본인만의 방식이 필요하다는 것이다. 여기서 본인만의 방식은 정말 독창적인 본인만의 방식이 아니라 많은 풀이 방식 중 일관되게 풀 수 있는 한 가지의 방식에 익숙해야 한다는 의미이다. 역함수와 합성함수에서 주로 학생들은 어려움을 겪는데 이걸 풀 때 풀이방식이 문제마다 다르거나 중심이 잡혀있지 않으면 스스로에게 확신도 들지 않고 본인이 부족한 점이 무엇인지도 파악하기 어렵다. 너무 추상적이라면 예를 들어, 역함수를 풀 때는 크게 개념과 그래프로 나누어 접근방식을 구분하고 그래프 문제라면 항상 y=x 선을 그려 대칭을 생각하자.라는 식의 본인 스스로 정리해 놓은 접근 방식이 있어야 한다는 것이다. 당연히 이 방식으로도 안 풀리는 문제가 있을 수 있지만 적어도 이 방식으로 안 풀렸으니 이제 다시 원점에서 생각해 보는 시도까지 도달하는 시간이 매우 짧아질 것이다. 

 

3-2. 유리함수와 무리함수

해당 단원은 말하고자 하는 바가 명확하다. 첫번째, 유리함수와 무리함수의 개형을 이해하고 그래프를 그릴 수 있는가? 두 번째, 앞에서 배운 역함수, 합성함수를 활용하여 그린 그래프를 옮기고 뒤집고 계산할 수 있는가? 우선 첫 번째 질문에 대해서는 함수의 개형이 유리함수는 2개, 무리함수는 4개로 명확하게 나뉘기 때문에 비교적 수월하게 익힐 수 있다. 그렇다 보니 그래프를 그리는 과정에서는 절대 헷갈리거나 시간이 오래 걸리면 안 된다. 그냥 보고 유형을 판단한 뒤 바로 그릴 수 있어야 한다. 그리고 3-1. 함수 단원을 잘 학습하였다면 그려놓은 그래프를 대칭시키는 건 큰 어려움이 없을 것이다. 따라서 두 번째 질문에도 쉽게 "그렇다"라고 답할 수 있을 것이다. 그래서 생각보다 유리함수와 무리함수는 쉬울 수 있다. 이 단원의 포인트라면 유리함수와 무리함수의 개형을 쉽고 빠르게 그릴 수 있어야 한다는 것이다. 

 

4. 정리

기본적으로 고등수학(상), (하)는 그 후반(수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계, 기하와 벡터, 이산수학)을 위한 기초를 다지는 콘셉트이므로 전반적인 분위기가 "만만해 보이지만 사실 중요하다"는 기조를 띄고 있다. 물론 해당 단원은 2개이므로 꼽는 것이 유의미하진 않지만 필요 없는 단원을 꼽자면 유리함수와 무리함수를 꼽을 것이고, 중요한 단원을 꼽자면 함수라고 정리할 수 있겠다.