[고등학교 2학년 수학Ⅰ] 지수함수와 로그함수 단원 요점 정리

고등수학 1 지수함수와 로그함수 요점 정리

지수함수와 로그함수(지수와 로그, 지수함수와 로그함수) 요점 정리

오늘 알아볼 단원은 지수함수와 로그함수 단원이다. 이 단원을 처음 보는 학생이라면 우선 지수는 들어봤겠지만 로그는 처음 들어봤을 것이고 지수 역시 들어는 보았지만 지수함수가 어떤 함수인지에 대해 생소할 것이다. 새로운 개념이니만큼 그 정의에 충실해서 배워보도록 하자.

 

1. 개요

해당 단원에서는 지수와 로그의 계산방식, 서로의 관계를 배워보고 지수함수와 로그함수에서는 말 그대로 지수함수와 로그함수에 대해 배워볼 것이다. 지수형태에서 지수, 로그형태에서 진수에 각자 변수 x를 가지는 함수를 지수함수, 로그함수라고 부르는데 각자 그래프를 그려보고 역시 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼 것이다.

 

2. 단원의 위치

지수함수와 로그함수 단원은 수학Ⅰ을 삼등분하였을 때 첫 번째 단원에 위치한다. 늘 언급했던 것이지만 첫 단원은 기합도 들어가 있고 잘해보려는 의지가 있을 때이기 때문에 모두들 열심히 해보는 단원이다. 실제로 단원이 아주 어려운 내용을 가지고 있지는 않아서 수학Ⅰ에서 처음 만나는 단원으로 적합한 난이도라고 볼 수 있다.

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용을 의도적으로 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다.

 

3-1. 지수와 로그

지수와 로그 단원은 새로운 형태의 숫자(실수)를 배운다고 생각하면 편하다. 당연히 존재하는 숫자들이지만 그동안은 풀어쓰거나(지수) 다루지 않았던(로그) 숫자들에 대해서 배워보는 단원이다. 숫자를 배울 때는 정의를 배우고 나서 항상 이 숫자들로 우리가 아는 연산이 되는가? 에 대해서 늘 따져봐야 한다. 그래서 의미가 있을 테니까... 그래서 실제로 이 단원에서는 지수와 로그의 연산을 얼마나 편하게 할 수 있는지가 중요한 포인트라고 할 수 있겠다. 이렇게 포인트라고 언급한다는 것 자체가 지수와 로그의 사칙연산은 특이하기 때문인데, 우리가 3+4*5를 23이라고 편하게 말할 수 있듯이 지수와 로그를 활용한 사칙연산에 익숙해지는 것이 중요하다. 계속 글을 쓰다 보니 결국 강조하는 것이 반복되기 마련인데 그중 하나가 바로 계산에 대한 익숙함이 중요하다는 것이다. 우리가 축구선수라고 한다면 계산은 마치 달리기와 같다. 축구를 하는 도중에 달리는 방법에 대해서 고민하는 축구선수는 없을 것이다. 또한 달리기는 빠르면 빠를수록 좋다. 계산도 마찬가지이다. 지수와 로그에서도 그것을 강조하는 것이다. 새로운 숫자를 배운 만큼 앞으로는 어떤 단원에서도 지수와 로그 표현은 등장할 수 있는데 그때마다 이 특이한 아이들의 사칙연산 성질을 헷갈려한다면 정답의 근처도 가지 못하게 될 것이다.

 

3-2. 지수함수와 로그함수

지수함수와 로그함수 단원은 그 이름에서 알 수 있듯 3-1. 지수와 로그에서 배운 형태를 가진 함수를 배우는 단원이다. 1년 전에 배웠던 유리함수와 무리함수를 기억하는가? 그 단원과 중요한 포인트와 접근 방식이 매우 유사하다. 지수함수와 로그함수 역시 함수의 그래프 측면에서 개형이 각각 2개씩 나뉘게 되는데 그 개형 별로 그래프가 어떻게 그려지는지를 정확히 파악하는 것이 중요하다. 조금 더 자세하게 하자면 지수함수라고 가정했을 때 밑의 크기에 따라 그래프 개형이 어떻게 바뀌는지를 아는 것이 중요하다. 어차피 지수함수와 로그함수 그래프는 휘어있는 곡선이기 때문에 정확하게 그리는 것이 불가능하므로 상대적으로 다른 함수와 비교했을 때 그 위치관계를 아는 것이 중요하다. 수능을 기준으로 고급 문제로 갈수록 여러 개의 그래프를 그리고 대소비교를 하는 경우가 많기 때문에 함수를 밑을 바꿔가면서 서로 그 개형을 그려보는 것이 좋다. 또한 그래프 문제가 아니라고 하더라도 함수의 그래프로 해석해서 접근하는 방식의 문제도 많이 있으니(특히 ㄱ,ㄴ,ㄷ 중 옳은 것을 찾는 문제유형) 그것도 염두에 두자.

 

4. 정리

여러 단원에 대해서 설명을 적다보니 본질은 단원에 관계없이 범위에 관계없이 비슷하구나 라는 생각을 하게 되었다. 결국은 반복적인 연습으로 인한 연산의 숙련도를 높이는 것을 바탕으로 논리는 전개해 나가는 것이 답이라고 생각한다.