[고등학교 2학년 수학Ⅰ] 수열 단원 요점 정리

고등수학1 수열 단원 요점 정리

수열(등차수열과 등비수열, 수열의 합, 수학적 귀납법) 요점 정리

초등학교 고학년쯤에 이런 문제를 푼 기억이 있을 것이다. 1, 3, 5, 7, □... 다음 □에 들어갈 숫자는? 정답은 무엇일까? 사실 초등학교 수준이라면 9가 맞겠지만 아닐 수도 있다. 일반항이 (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+n 이라면 말이다. 억지같아 보여도 우리가 앞으로 배울 수열단원에서는 굉장히 중요한 것을 시사한다. 이렇게 오해가 발생하지 않도록 하려면 수학적으로 어떻게 표현 해야하는지 고민해보자.

 

1. 개요

수열의 정의는 숫자들의 배열이다. 단순한 배열도 수열인가? 라고 묻는다면 당연히 Yes이다. 그러나 단순한 숫자들의 나열을 가지고서는 다음 숫자를 안다는 것이 불가능하다. 위에 든 예시처럼 나는 □안의 숫자가 9일줄 알았다. 하지만 아닐 수도 있다. 이 논쟁을 종결시켜주는 것이 바로 일반항 개념이며 우리는 일반항을 찾으러 떠난다고 생각해도 무방하다. 

 

2. 단원의 위치

수열 단원은 수학Ⅰ을 삼등분하였을 때 세 번째(마지막) 단원에 위치한다. 삼각함수 단원을 지나온 수험생으로써는 그나마 숨통이 트인다고 느낄 수 있는 단원이다. 실제로 수열에서 처음 배우는 등차수열은 굉장히 직관적이고 자연스러운 개념이라 우리에게 삼각함수라는 큰 산을 넘고나서 다시 새출발 할 수 있는 용기를 준다. 

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용을 의도적으로 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다.

 

3-1. 등차수열과 등비수열

수열의 첫 시작이다. 2. 단원의 위치에서 언급했다시피 새 출발을 하는 입장에서 등차수열과 등비수열은 비교적 쉬운 단원이다. 여기서 쉽다는 의미는 문제를 풀기에 쉽다는 의미도 있지만 본질 그 자체가 간단하다는 의미이기도 하다. 여기서 그 본질이란 등차수열이던 등비수열이던 결국 첫째항과 공차(등비수열의 경우 공비)를 알아내면 모든 것이 끝난다는 것이다. 이 두가지 요소만 알고 있으면 우린 등차, 등비수열의 일반항을 알 수 있고 이는 완벽하게 그 수열을 파악하고 있다는 것이다. 첫째항부터 100번째항까지의 합을 묻던, 항의 최대값을 묻던 상관없다 그냥 친절히 답해주면 된다. 즉, 이 단원의 포인트는 어떤 문제든 풀때 첫째항과 공차(등비수열의 경우 공비)를 구하려고 노력해야한다는 것이다. 당연히 모든 문제가 이렇게 풀리지는 않는다. 그러나 단일 접근법으로는 가장 타율이 좋지 않을까 생각된다. 

 

3-2. 수열의 합

어찌되었든 등차수열과 등비수열은 좋았다. 하지만 이제부터는 난이도가 조금 올라간다. 가장 큰 이유가 새로운 기호를 배우기 때문인데 바로 시그마이다. 말그대로 규칙적인 숫자들의 합을 하나의 기호로 표시하기 위한 기호인데 이 시그마를 정말정말 잘 이해해야한다. 누가 변수이고 누가 상수인지 이 기호가 말하려는 것이 무엇인지를 정확하게 파악하는 것이 중요하다. 시그마는 이 단원에서보다 수Ⅱ, 미적분에 가서도 자주 쓰일 예정이기 때문에 아무리 강조해도 지나치지 않은 기호이다. 사실 이 시그마는 말이 수학기호이지 그냥 언어적 표현에 불과하다. 시그마라는 기호 밑은 왜 저런걸 쓰고 위에는 왜 저런걸쓰는지 궁금해할 필요가 없다. 그냥 그렇게 약속한거다. 그 규칙만 이해하고 시그마를 전개해서 식으로 쓸줄알고, 식을 시그마로 표현하는 것에 집중해보자.

또 하나 강조하고 싶은것은 수열의 합을 실제로 계산하는 문제를 풀때인데, 시그마로 쓰여진 그 비주얼에 겁먹을 필요가 없다. 우리 교육과정에서는 세제곱의 합까지만 다루고 있으며 거기에 등비수열의 합까지만 구할 수 있다면 시그마를 실제로 계산할때에 어려움이 있을 수가 없다. 전반적으로 생긴것에 겁먹어서 체감 난이도가 어려운 단원 중 하나이다.

 

3-3. 수학적 귀납법

아무도 관심없겠지만 개인적으로 너무나 좋아하는 단원이다. 국어에서 말하는 귀납법과 수학적 귀납법의 차이를 알 수 있으며 그 완전무결함에 감탄이 나온다. 이 단원의 포인트는 수학적 귀납법을 직접 증명해보기 보다는 앞뒤 맥락을 읽고 빈칸을 채우는 것에 있다. 실질적으로 수능 시험에 직접 증명을 하라는 문제를 낼 순 없다. 그러니 언제나 수능에는 증명과정 중간에 빈칸을 만들어 놓고 이를 채우게 하는데 이런 유형의 문제는 변동사항에 거의 없기 때문에 늘 맞혀야만 하는 문제라고 생각한다. 수학적 귀납법의 원리를 파악하고 우리가 증명하고자 하는 것이 무엇인지를 안다면 쉽게 맞출 수 있을 것이다. 재미있는 단원이지만 실질적으로 문제를 낼 수 있을만한 형식이 제한적이라 수능에서는 크게 비중을 두지 않아도 된다.

 

4. 정리

삼각함수의 고통에서 벗어나 그나마 할만하면서도 재미있는 단원이 수열이 아닐까 생각된다.