[고등학교 2학년 수학Ⅱ] 함수의 극한과 연속 단원 요점 정리

고등수학2 함수의 극한과 연속 단원 요점 정리

함수의 극한과 연속(함수의 극한, 함수의 연속) 요점 정리

영화에서 수학천재들이 나오면 언제나 배경이나 칠판에 쓰여있는 기호가 있다. 바로 lim 라는 기호이다. 영어단어로 한계(limit)라는 뜻으로 알고있는 우리에게 제법 주관으로 느껴지는 한계라는 단어가 수학에서 어떤 뜻으로 쓰일까? 

 

1. 개요

이 단원에서는 크게 극한, 연속의 개념을 배워볼 것이다. 과거 집합과 명제와 마찬가지고 선행 개념(집합)이 잘 잡혀있으면 후행 개념(명제)이 수월 한것 처럼 극한이 잘 잡혀있으면 연속은 쉽게 따라오는 단원이다. 처음 배우는 기호인 lim의 의미와 관련 성질을 중심으로 시작해서 우리가 말로 표현가능한 것을 극한을 사용하여 엄밀하게 정의내리는 모습을 보면 새삼 수학의 위대함을 다시 느낄 수 있다. 

 

2. 단원의 위치

함수의 극한과 연속 단원은 수학Ⅱ를 삼등분하였을 때 첫 번째 단원에 위치한다. 수학Ⅱ는 사실상 "미분과 적분"이라고 이름을 바꿔도 될 만큼 미분과 적분 내용이 메인을 이루고 있기 때문에 수Ⅱ에서는 단원의 순서에 큰 의미가 있다기보다는 미분과 적분의 개념을 배우기 위한 첫 단계를 배운다고 생각하면 편할 것 같다. 

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용을 의도적으로 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다. 본의 아니게 글의 제목만 보고 기대하는 내용이 아닐 수 있기 때문에 오해가 없길 바란다.

 

3-1. 함수의 극한

수학의 힘을 엿볼 수 있는 단원이다. 할 말이 참 많지만 크게 두 가지로 나누어서 설명하도록 하겠다.

우선, 시험을 치르는 수험생을 독자로 삼아 설명해 보도록 하겠다. 늘 처음 배우는 용어가 있을 때 하는 말이지만 극한(Limit)의 개념을 정확히 아는 것이 중요하다. 극한이란 함숫값이 아니라 가까이 가는 "목표물"에 대해 궁금해하는 개념이다. 그 목표물을 합리적으로 우리가 어떻게 구할 것인지를 ①그래프를 통해, ②수식을 통해 연습하는 단원이라고 생각하면 된다. 보통 그래프를 보고 극한값을 판단하는 문제는 대부분의 수험생들이 수월하게 풀기 때문에 가장 어렵다고 볼 수 있는 합성함수의 극한값만 풀 수 있다면 더 이상 어려움은 없을 듯하다. 합성함수의 극한값의 경우 일반적인 합성함수의 함숫값을 구하는 것과 다르게 합성하여 들어가는 함숫값의 "방향"에도 신경 써야 한다는 것 정도이다. 수식으로 극한값을 찾는 문제의 경우 사실상 무한대/무한대 꼴이나 혹은 0/0 꼴이 나오며 이것도 익숙해지면 푸는 게 큰 어려움은 없을 것이다. 문제풀이의 입장에서 이 단원은 크게 까다롭지는 않다.

이제는 수험에 상관없이 수학의 흐름에만 집중해 보도록 하겠다. 이 극한이라는 단원이 미적분과 왜 상관이 있는지를 생각해 보자. 2. 단원의 위치에서 설명했다시피 이 단원은 미분과 적분으로 향하는 기초단원이라고 했는데 이 극한이라는 개념이 도대체 무슨 의미가 있을까?

미분과 적분은 모두 우리가 실제로 궁금해하는 값을 직접 찾을 수 없기 때문에 시작된 방법이다. 즉, 보이지 않는 저 너머의 값이 너무 궁금한 상황에서 직접 구하지 말고 다가가는 그 자체(함수)를 이용하면 가보지 않아도 그 목적지의 값이 무엇인지는 알 수 있을 것이다. 그걸 극한이라고 부르고 그 값이 무엇을 의미하는지 배우고 찾는 연습을 이 단원에서 하는 것이다. 

 

3-2. 함수의 연속

함수의 연속은 극한의 개념에 함숫값을 추가하여 정의되는 개념이다. 이것도 역시 수험용과 수학의 흐름으로 나누어서 설명해 보겠다.

수험생의 입장에서는 해당 함수의 연속일 조건을 물어보는 문제가 빈번하게 등장한다. 늘 같은 풀이이지만 경험상 헷갈리는 학생들은 늘 헷갈려하는 것 같다. x=a에서 서로 다른 형태의 함수가 있고 이 함수 전체가 연속이라고 한다면, ①x=a에서 함숫값이 서로 같다 ②x=a에서 극한값이 서로 같다. 이 두 조건만 활용하면 된다. 이 풀이는 사실상 해당 유형의 유일한 풀이인데 많이들 틀리는 모습을 보아와서 그런지 노파심에 언급해 보았다. 이외의 나머지는 부수적인 문제로 함수의 연속만의 특이점은 없는 것 같다.

자, 이제 또 잠시 문제풀이에서 벗어나 보자. 앞에서 극한을 배웠다. 그리고 x=a에서 극한값이 존재하는 함수의 형태를 보았을 것이다. 어떤 특징이 있었는가? 말로 설명하기 어렵진 하지만 머릿속에서 떠올려보자 그리고 x=a에서 연속하는 함수의 형태와 대조해 보자. 극한값이 존재하는 함수는 멀리서 보았을 때(당연히 매우 주관적인 표현이다) 제법 연속처럼 보인다. 그러나 가까이에서 보면 x=a에서 연속일 수도 있고 아닐 수도 있다. 그 정교함을 채워주는 것이 함숫값과 극한값의 일치이고 그것이 연속의 정의가 되는 것이다. 다음 단원에서 언급하겠지만 여기서 더 조건이 추가되면 x=a에서 미분이 가능한 함수가 되는 것이다. 점점 함수가 부드러워지는 것을 느껴야 한다. 그리고 소위말해 펜을 떼지 않고 그릴 수 있는 연속함수를 정의하기 위해서는 극한의 개념이 필요하겠구나 를 느끼면 더욱 좋다.

 

4. 정리

수학Ⅱ는 앞에서 역시 언급한 것처럼 사실상 미적분과 같고 이과학생들이라면 선택과목 역시 미적분이므로 이제부터는 미분과 적분 늪에 빠졌다고 해도 과언이 아니다. 미적분의 세계에 온 것을 환영한다.