[고등학교 1학년 수학 하] 집합과 명제 단원 요점 정리

고등수학 하 집합과 명제 단원 요점 정리

집합과 명제(집합, 명제) 요점 정리

오늘 다뤄볼 단원은 집합과 명제이다. 과거 필자가 수험생인 시절에는 수학 상의 첫 번째 단원에 위치하면서 고등학교1학년때 누구나 공부했던 단원이라 누구나 통달했던 단원이지만 지금에는 그렇지 않은 것 같다.

1. 개요

집합과 명제는 단원명에서 알 수 있듯 집합과 명제 두 파트로 나누어서 있으며 두 단원은 밀접한 관련이 있다. 명제의 경우 집합의 개념에서 출발하기 때문에 집합을 잘 학습해놓으면 명제는 수월하게 진행할 수 있다.

 

2. 단원의 위치

집합과 명제 단원은 수학 하를 삼등분하였을 때 첫 번째 단원에 위치한다. 사실 이전 교육과정에서 집합과 명제는 수학 상의 첫 번째 단원에 위치해 있었다. 그래서 많은 학생들이 집합만 통달해 버리고 인수분해에서 모두 전멸한다는 우스갯소리가 있었는데, 그만큼 집합과 명제는 어려운 난이도의 단원이 아니라는 것을 의미할 것이다. 또한, 2학기의 첫 단원이니만큼 비슷한 느낌으로 방학기간 동안 학생들이 많은 반복학습이 되어있어 큰 거부감이 없는 단원이라고 볼 수 있다. 실제로 문제를 틀릴지언정 집합과 명제가 어렵다고 하는 학생은 많지 않다. 

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용은 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다.

 

3-1. 집합

집합 단원은 고등수학 전체에서 가장 직관적인 단원이라고 말할 수 있겠다. 이 직관적이라는 말은 쉽다는 의미이기도 하지만 가장 배경지식 없이 상식에 부합하는 개념이라는 의미이기도 하다. 대학교 이상으로 가서 실제(?) 수학을 배우게 된다면 집합은 수학의 모든 분야에서 논리전개의 기본이 되는 분야로 사실상 수학은 집합이라는 언어로 쓰인 학문이라고 봐도 과언이 아니다. 우리와 상관없는 대학교 수학 얘기를 하는 이유는 놀랍게도 여기서 집합의 가장 중요한 포인트가 있기 때문이다. 집합의 가장 중요한 부분은 바로 문해력이다. 집합에서 고난도 문제는 집합 그 자체가 아니다. 집합으로만 구성된 문제는 크게 어렵지 않다. 하지만 집합의 기호를 사용하여 상황을 설명하거나 다른 단원(원의 방정식, 직선의 방정식 등)과 연계해서 그 관계를 집합으로 표현할 때 많은 학생들은 길을 잃고 헤매기 마련이다. 분명 문제를 한국말로 친절하게 설명해 주면 풀 수 있는 문제임에도 집합의 기호를 사용하여 설명할 때는 풀지 못하는 경우가 부지기수이다. 왜 문제를 이렇게 꼬아서 내는 것이냐고? 집합이 수학에서 어떻게 언어를 담당지 조금이라도 느끼라는 것이다. 따라서 학생들은 집합의 기호를 보고 이것을 한국말로 "번역"하면 무슨 뜻이 될까를 끊임없이 생각하면서 트레이닝해야 한다. 

 

3-2. 명제

명제 단원은 크게 명제와 절대부등식으로 크게 구분이 되어있는데 사실상 별개의 단원이라고 봐야한다. 우선 명제는 집합과 밀접한 관계가 있으며 집합의 포함관계를 화살표라는 기호로 표현했다고 생각해도 무방하다. 집합을 잘 소화했다면 명제는 오히려 편하게 느껴질 수 있다. 명제만의 중요한 포인트가 있다면 어떤 명제와 대우 명제를 스위칭해 가며 문제 상황에 적용시키는 방법에 익숙해져야 한다는 것이다. 명제는 이것 외에는 크게 언급할 부분이 없는 것 같다. 대부분의 학생들은 명제 보다도 절대부등식에서 어려움을 느끼는데 절대부등식은 결국 둘 중 하나이다. 산술기하평균이냐 코시슈바르츠 부등식이냐. 이 형태에 어떻게든 끼워 넣는다고 생각하면 되는데 가장 크게 구분되는 기준은 다루는 수가 양수냐 아니냐 이다. 알다시피 산술기하평균은 양수에서만 적용되므로 도형의 길이나 실생활문제가 나올 때 빈도가 굉장히 높은 편이고 따로 양수라는 조건이 붙는다면 산술기하평균을 활용하는 것이 타당할 것이다. 반면 코시슈바르츠 부등식은 실수 전체에서 정의되므로 아무 조건이 없거나 실수라는 언급이 있을 때 적용하려고 시도해 보는 것이 좋다. 각자 등호가 성립할 조건에 주의하면서 연습하면 된다.

 

4. 정리

기본적으로 물론 해당 단원은 2개이므로 꼽는 것이 유의지하진 않지만 필요 없는 단원을 꼽자면 명제를 꼽을 것이고, 중요한 단원을 꼽자면 명제라고 정리할 수 있겠다.