[고등학교 1학년 수학 상] 방정식과 부등식 단원 요점 정리

고등수학 상 방정식과 부등식 단원

방정식과 부등식(복소수와 이차방정식, 이차방정식과 이차함수, 여러 가지 방정식과 부등식) 요점 정리

대부분의 사람들은 수학 하면 가장 먼저 떠올리는 것이 바로 미지수 x가 등장하는 방정식일 것이다. 그만큼 방정식이 우리에게 주는 영향력이 컸을 뿐만 아니라 좌절을 주어서 일 수 있다. 이번 기회에 방정식과 부등식에 대한 중요한 포인트를 잘 정리해보록 하자. 

 

1. 개요

방정식은 결국 x값을 구하기 위한 식이며 부등식을 등호 대신 부등호가 들어간 식이라고 보면 된다. 2차 방정식의 경우 x값은 언제나 구할 수 있으며 고차방정식(3차 이상)의 경우 인수분해가 현실적인 풀이 방법이다. 따라서 우리의 시험범위에도 2차방정식 혹은 인수분해가 되는 고차방정식만이 포함될 예정이다.

 

2. 단원의 위치

방정식과 부등식 단원은 수학 상을 삼등분하였을 때 두 번째(가운데) 단원에 위치한다. 위치 상 큰 의미가 있지는 않다. 다항식 단원의 뒤에 있어 인수분해에 적응이 잘 되어 있다면 쉽게 적응할 수 있는 단원이다.

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용은 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서 정리하였다. 

3-1. 복소수와 이차방정식

지금까지 살면서 배웠던 숫자개념이 깨지는 시간이다. 제곱을 했는데 음수가 나오는 숫자가 존재한다니!

우선 시험을 위해서 이 단원에서 강조하고 싶은 것은 분모의 실수화, 켤레복소수의 성질 등 복소수의 사칙연산에 익숙해지는 것이다. 이것을 가장 많이 평가할 수 있는 문제는 삼차방정식인 x^3=1과 같은 복소수를 다루는 유형이다. 식을 모두 적지는 않겠지만 늘 단골소재로 나오는 삼차방정식으로부터 파생되는 복소수의 성질들을 익혀놓아야 한다.

다음 시험을 떠나서 강조하고 싶은 것은 숫자의 새로운 "단위"에 초점을 맞추어야 한다. 이 글을 읽는 사람들에게 묻고 싶다. 허수의 단위는 무엇인가? 아마 해당 단원을 배운 사람이라면 i라고 답할 것이다. 그렇다면 실수의 단위는 무엇인가? 지금까지는 실수가 우리 세상의 전부였으니 생각할 필요가 없었겠지만 허수가 등장함으로써 생각해 봄직하다. 고등교육과정은 아니지만 더욱 확장된 세상으로 나아가기 위해서는 가장 먼저 단위를 정의 내려야 한다. 그런 관점에서 실수의 단위에 대해 생각해 보고 유리수와 무리수도 서로 다른 분류이지만 왜 다른 개념이라고 하지 않는지, 왜 하필 실수와 허수를 구준짓는지를 생각해 보면 좋을 것 같다.

3-2. 이차방정식과 이차함수

이차방정식과 이차함수의 중요성을 모르는 사람은 없을 것이다. 이 단원에서 얻어가야 할 것은 함수의 x절편을 구하는 것이 방정식이라는 기본 개념이다. 더 엄밀하게는 어떤 함수의 특정 함숫값을 만족시키는 x 값의 관계식이 바로 방정식이다. 즉, 함수와 방정식이 얼마나 밀접한 관계인지 아니 실질적으로는 동일한 관계라는 것을 알고 문제에 따라 서로 스위칭해 가며 적용시킬 줄 알아야 한다. 뒤에도 설명하겠지만 모든 방정식과 부등식은 함수에서 출발한다는 것을 이해한다면 당신은 수학에서 가장 추상적인 단어인 "개념"이 있다는 뜻이다.

3-3. 여러 가지 방정식과 부등식

앞에서 방정식을 학습하였으면 등호만 부등호로 바꾸면 부등식으로 변형 완료이다. 사실상 3-2. 이차방정식과 이차함수 단원을 바르게 학습했다면 비교적 편안하게 적응할 수 있는 단원이다. 부등식을 푸는데 방정식을 풀지 못하면 어불성설이다. 부등식의 경계점을 구하기 위해서는 방정식을 풀어야 하기 때문이다. 그리고 방정식은 함수와 밀접하므로 역시 결국 부등식도 함수에서 시작된다는 사실을 인지하고 있어야 한다. 

4. 정리

기본적으로 고등수학 (상), (하)는 그 후반(수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계, 이산수학)을 위한 기초를 다지는 콘셉트이므로 전반적인 분위기가 "만만해 보이지만 사실 중요하다"는 기조를 띄고 있다. 그러나 모든 단원을 강조하면 그 의미가 퇴색되므로 의도적으로 필요 없는 단원을 꼽자면 복소수와 이차방정식을 꼽을 것이고, 가장 중요한 단원을 꼽자면 역시나 이차방정식과 이차함수 단원이라고 정리할 수 있겠다.