[수학 주제 정리] 이차함수와 이차방정식의 관계 정리

이차함수와 이차방정식의 관계 정리

함수와 방정식은 기본적으로 아주 밀접한 관계를 관계를 가지고 있습니다. 특히나, 이차함수와 이차방정식의 경우는 일차함수보다 심화적이기도 하고 삼차이상의 함수는 실질적으로 물어볼 수 있는 것이 한정되어있다 보니 많은 부분에서 활용되고 있는데요.

오늘은 이차함수와 이차방정식의 관계에 대해서 알아보고 확실하게 개념을 챙겨가는 것을 목표로 하겠습니다. 그럼 시작하겠습니다.

 

1. 개요

우선 시작하기에 앞서 함수와 방정식의 근본적인 차이를 알아보겠습니다. 함수는 우선 x와 y가 등식에 같이 등장해야 합니다. 왜냐하면 함수라는 말 자체가 "x가 정해졌을 때 y의 값이 오직 하나로 정해지는 그 관계"를 의미하기 때문입니다. 따라서 이차함수는 y=ax^2+bx+c 형태의 함수를 말합니다.

방정식은 쉽게 말해 x만 등장하는 등식입니다. 즉, 함수와의 차이점을 y가 없는 것이죠. 그래서 이차방정식은 ax^2+bx+c=0 형태의 식을 말합니다. 자 이제 우리가 다룰 식에 대해 알아보았으니 이제 제대로 둘을 알아보겠습니다.

 

2. 이차방정식은 이차함수의 일부분이다

제가 쓴 글 중 이차방정식에 대한 단원정리가 나온 부분을 보시면 같은 내용이 있겠지만 사실 이차방정식은 이차함수의 일부분이라고 봐도 무방합니다. 왜냐하면 이차함수에서 y값에 0을 대입하면 이차방정식이 되기 때문이죠. 이게 무슨 의미인지 생각해 보면 이차함수는 y=ax^2+bx+c의 형태를 하고 있는데 우리가 x에 임의의 실수를 넣으면 y가 하나 튀어나오는데 그 튀어나오는 y의 값이 0이 되게 하고 싶다는 것입니다.

당연히 그 x를 우린 찾아야 하는 것이고요. 이걸 우린 이차방정식이라고 부릅니다. 정리하자면 이차함수에서 y값이 0이 되게 하는 x를 찾는 식을 이차방정식이라고 하는 것이지요. 그리고 y의 값이 0이 된다는 것은 함수 입장에서 보면 x축과 만난다는 의미와 같습니다.

그렇다면 이차방정식의 판별식은 이차함수와 어떤 관계가 있을지 알아보겠습니다.

 

3. 이차방정식의 판별식과 이차함수 그래프

이차방정식에는 판별식 D=b^2-4ac 가 있습니다. 바로 이차방정식의 해의 개수를 판별한다고 해서 판별식이라는 이름이 붙어있죠. 그렇다면 이것과 이차함수의 관계는 어떤지 알아보겠습니다.

3-1. D>0 일 경우

이차방정식의 판별식이 0보다 클 경우입니다. 이 경우는 방정식의 해가 서로 다른 두 실근이라고 하여 2개 존재하죠. 이것을 위에서 생각해 본 함수의 입장에서 보자면 함수의 그래프가 x축과 만나는 점이 2개 있다는 것입니다. 즉 아래와 같은 그림으로 함수의 그래프가 그려진다는 것이지요. 물론 이 그림은 이차함수의 최고차항의 부호가 양수일 때의 그림입니다.

이차함수와 이차방정식의 관계 중 판별식이 0보다 큰 경우

여기서 α와 β가 이차방정식의 두 근이 되는 것입니다. 나머지 경우도 한번 알아보겠습니다.

 

3-2. D=0인 경우

이차방정식의 판별식이 0인 경우입니다. 흔히 우리가 중근이라고 하죠. 근의 공식에서 루트 부분이 0으로 사라지면서 해가 하나만 나오는 경우입니다. 위와 같은 방식으로 생각해 보면 이차함수가 x축과 만나는 점이 하나라는 것입니다. 이런 경우는 어떤 경우일까요? 아래 그림과 같을 겁니다. 물론 여기서 α는 이차방정식의 중근이겠죠

이차함수와 이차방정식와 관계 중 판별식이 0인 경우

3-3 D <0인 경우

이제 마지막 케이스입니다. 바로 판별식이 0보다 작은 경우인데요. 이 경우는 부르는 이름이 조금씩 다르죠. 허수를 배우기 전에는 해가 없다.라고 배우고 허수를 배운 뒤에는 서로 다른 두 허근이라고 부릅니다. 물론 두 표현 다 관점에 따라 맞는 말인데요. 지금부터 왜 그런지 보겠습니다. 이제 판별식이 0보다 크거나 같은 경우는 다 알아보았으니 남은 경우가 이차함수가 그려질 수 있는 개형이겠죠. 아래 그림처럼요.

이차함수와 이차방정식의 관계 중 판별식이 0보다 작은 경우

이차함수가 보시다시피 x축과 만나지 않습니다. 그렇기에 직관적으로 보면 해가 없다고 볼 수 있습니다. 만나는 점이 없으니까요. 그렇다면 서로 다른 두 허근은 무슨 말일까요? 우리의 좌표평면은 모두 실수(Real Number)로 이루어져 있습니다. (실수, 실수) 이렇게요. x축 위의 점 역시 실수이기 때문에 실수선 위에서 만나지 않는 것이지 허수의 입장까지 고려한 것은 아닙니다. 그렇기에 서로 다른 두 허근은 존재하지만 이 좌표평면에 표시되지 않은 것이라고 생각하면 됩니다. 

 

4. 판별식은 이차함수의 개형을 결정한다.

목차 3에서 판별식에 따라 이차함수가 x축과 어떤 관계가 있는지 알아보았습니다. 그렇다면 이제 눈치채셨겠죠 이차방정식의 판별식의 부호는 이차함수가 x축과 두 점에서 만나는지, 한 점에서 만나는지, 안 만나는지를 쉽게 알 수 있는 척도가 됩니다. 그리고 표현을 조금 다르게 하자면 D <0인 경우에는 이차함수의 모든 함숫값이 0보다 크게 된다고 할 수 있겠네요. 이 표현은 우리가 앞으로 풀 문제에서 굉장히 많이 나오는 표현입니다. 

"어떤 이차함수가 모든 x에 대해서 양수값을 가진다."라는 표현을 보고 우리는 이제 "함숫값이 늘 양수라는 말은 함수 그래프가 붕 떠있어서 x축과 만나지 않을 테고 그럼 이차방정식 입장에서는 판별식이 0보다 작겠구나"라고 생각하면 됩니다. 

 

5. 정리

이제 이차함수와 이차방정식의 관계가 이해되셨나요? 정리하자면 이차방정식은 이차함수가 x축과 만나는 점을 구하는 방정식이고, 그렇다 보니 이차방정식의 판별식을 통해 이차함수가 x축과 어떤 관계에 있는지도 알 수 있다. 정도가 되겠습니다. 이 개념을 잘 정리해 놓은지 확인해보고 싶으시다면 이번엔 이차함수의 최고차항 계수가 음수일 때를 생각해 보면 좋은 연습이 될 것 같습니다.