[고등수학 2학년 1학기 중간고사] 명제 단원 연습문제 및 해설(1/4)

고등학교 수학 2학년 1학기 중간고사 명제 단원

학교마다 다르지만 고등학교 수학 2학년 1학기 중간고사 범위에 주로 속해있는 명제 단원에 대한 연습문제를 제공하고 해설까지 알려드리려 합니다.

 

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명제 단원 연습문제 및 해설

 

문제 개요

문제수는 22문제이고 단일 단원의 문제이기 때문에 시간을 재고 푸는 것은 의미가 없을 수 있지만 그럼에도 한 호흡으로 최대한 빠르게 풀어보시길 바랍니다. 현재 이 글에서는 1~6번까지 문제에 대한 해설만 제공하고 있습니다. 나머지 문제에 대한 풀이는 다른 게시글에서 제공됩니다.

 

정답 및 해설

정답은 가장 하단에 모아놓았으며 해설은 1~6에 대해 제공됩니다. 

 

문제1

1. 대우명제는 가정과 결론을 서로 부정한 뒤 순서를 바꾸는 것이다. 가정과 결론을 구분짓은 가장 쉬운 방법은 바로 "이면" 을 기준으로 나누는 것이다. 물론 언제나 그런 것은 아니지만 언제나 그런것이 아니라는 것을 아는 학생은 이 의미를 이해할 것이고, 그것을 모른다면 "이면"을 중심으로 가정과 결론이 나뉜다는 것으로 외외도 무방하다.

그럼 다시 문제로 돌아와서 가정과 결론을 부정하도록 하겠다. 가정을 먼저 부정하면 "x>=0 이거나 y>=0" 이다. 그리고 결론을 부정하면 "xy>=0" 이다. 이제 순서를 바꾸면 정답이 완성된다. 따라서 정답은 xy>=0 이면 x>=0 이거나 y>=0 이다. 즉 정답은 ④번이다. 

 

문제2

2. 참인 명제를 구분하는 문제이다. 보기 하나씩 참, 거짓을 구분하면서 풀어보자. 우선 모든 명제의 참, 거짓을 구분지을때는 최대한 반례를 생각해보면 수월하다. 

① x+y=0 이면 x=y=0 이다. 라는 명제는 x=-1, y=1 이라는 반례가 존재하여 거짓인 명제이다.

② x>y>z 이면 xz>yz 이다. 라는 명제는 얼추보면 참인것 처럼 보이지만 z=0 일 경우 결론의 양변이 모두 0이 되기때문에 해당 명제는 거짓인 명제이다.

③ x가 3의 배수이면 x는 6의 배수이다. 라는 명제는 단순하게 x=3 이면 거짓이라는 것을 알 수 있는 부분이다.

④ x≠2 이면 x(x-2)≠0 이다. 라는 명제는 가정과 결론이 모두 부정문이므로 생각하기가 여간 껄끄러운 것이 아니다. 이럴때 있는 것이 바로 대우명제이다. 대우명제는 원래 명제와 언제나 참, 거짓이 동일하기 때문에 대우명제가 더 이해하기 편할때는 바꿔주는 것이 좋다. 해당 명제의 대우명제는 x(x-2)=0 이면 x=2 이다. 누가봐도 거짓임이 보인다. x=0이면 가정은 만족하지만 결론을 만족시키지 않기 때문이다. 따라서 거짓이다.

⑤ x+y>2 이면 x>1 또는 y>1 이다. 라는 명제는 이제 순서상 참이어야만 한다. 이럴때가 사실 제일 불안하다. 이것 마저 거짓인 명제가 나와버린다면 다시 처음으로 돌아가 도대체 뭘 잘못했는지를 찾아야 하기 때문이다. 두 숫자를 더해서 2보다 크다면 둘중 하나는 1보다 크다는 것은 얼핏 생각해보면 당연한말 같지만 그것 만으로는 부족하다. 결론에 "또는" 이라는 표현이 들어가 있기 때문에 역시 껄끄럽다. 대우명제를 찾아보자. 대우명제는 x<=1 이고 y<=1 이면 x+y<=2 이다. 명백하게 참임을 알 수 있다. 따라서 정답은 ⑤번이다. 

 

문제3

3. 필요충분조건은 쉽게 말해 가정과 결론의 진리집합이 동일한 것을 의미한다. 따라서 각 조건의 진리집합을 찾아서 p와 q를 비교해보자.

① p: 말그대로 x=1 이다. q: x^2=1 을 풀면 x=+1, -1 이다. 즉 p가 q의 충분집합인 것을 알 수 있다.

② p: 해당 부등식을 풀면 -1<x<1 이다. q: 절대값이 1보다 작다는 의미는 -1<x<1 이라는 의미이다. 따라서 p와 q는 서로 진리집합이 같으므로 둘은 필요충분조건이라고 할 수 있다. 따라서 답은 ②번이다.

③ p: 이런 표현은 유리수를 배웠을 때 보았을 것이다. 통상 이렇게 생기면 x=y=0 인것이 떠오르지만 문제를 다시한번 보라. x,y는 실수이다. 유리수가 아니다. 따라서 x=-루트2, y=1 이면 만족 시킬 수 있다. 따라서 q와는 다른 진리집합을 가지므로 p는 q이기 위한 필요조건이라고 할 수 있다

④ p: 워낙 직접적으로 적혀있어서 따로 언급할 것이 없다. q: 곱해서 음수가 나온다는 것은 쉽게말해 x,y의 부호가 다르다는 것이다. 따라서 x>0, y<0 또는 x<0, y>0 이라는 뜻이다. 따라서 p보다는 더 큰 집합임을 알 수 있다.

⑤ p: x=3 이다. q: x=+3, -3 이다. 1번보기와 마찬가지로 p는 q의 충분집합이다. 

 

문제4

4. 조건 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아니라는 것은 p가 q보다 진리집합이 순수하게 더 크다는 것을 의미한다. 3번 문제와 마찬가지로 진리집합을 구해보고 비교하면 어렵지 않게 찾을 수 있다.

① 초등학교 때 배웠겠지만 평행사변형이 마름모보다 더 넓은 개념이다. 따라서 q가 p보다 큰 집합이기 때문에 우리가 구하려는 방향과 반대이다.

② 결국 q가 문제이다. q는 많이 보던 형태인데 큰 생각이 없다면 a=b=0 이라고 답할 수 있다. 하지만 여기 어디에도 a,b가 실수라는 말이 없다. 따라서 허수도 가능하므로 p는 q에 포함되는 관계에 있다.

③ q: 더해서 정수가 되는 숫자는 정말 많다. 각자가 정수여도 되지만 둘다 정수가 아니어도 된다. 따라서 p는 q에 포함된다.

④ p: x≠2, q:x≠2 또는 x≠3 이다. 문장만 보면 q가 더 길기 때문에 커보이지만 의미를 생각해보면 p가 더 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 정답은 ④번이다.

⑤ p: -1<a<1 이고 q: a<1 이다 따라서 q가 p보다 크다.

 

문제5

5. ~p가 q이기 위한 필요조건 이라는 뜻은 Q⊂P^c 이라는 뜻이다. 이건 어떤 의미일까? 사실 두 집합이 나오는 위치관계는 경우의 수가 많지않다. 우선 기본적으로 두 집합이 만나거나 안만나거나 둘 중 하나이다. 그런데 해당 조건은 두 집합이 만나서는 나올 수가 없다. 따라서 두 진리집합은 서로 배반사건이다. 보기중에 배반사건이 아닌 것은 찾는다면 바로 ①번이다.

 

문제6

6. 전형적인 꼬리에 꼬리는 무는 문제이다. 우선 기계적으로 대우명제는 생각해보는 습관을 기르도록 하자. 그리고는 꼬리를 물게 만들자. ~r -> q의 대우명제는 ~q -> r 이고 이걸 앞에 나온 p -> ~q과 이으면 p -> ~q- < r 가 된다. 3단 논법에 따르면 p->r이 된다. 따라서 정답은 ①번이다.

 

정답

1. ④

2. ⑤

3. ②

4. ④

5. ①

6. ①