[고등학교 2학년 1학기 중간고사] 명제 단원 연습문제 및 해설 (2/4)

명제 단원 연습문제와 해설

이전 글에서 다루었던 명제 단원의 남은 문제들의 일부를 풀겠습니다.

 

명제 단원 연습문제 및 해설2

 

1. 문제 7번

필요조건과 충분조건을 명확하게 알고 있다면 포함관계를 정리할 수 있다. 

x>=a 이면 x>=3, -4 <=x <=5 이면 x>=b이다. 이렇게 두 가지 명제로 정리되는데, a의 최솟값은 3, b의 최댓값은 -4인 것을 알 수 있다. 따라서 정답은 ①번 -1이다.

 

2. 문제 8번

p가 q이기 위한 충분조건이라는 것은 p의 진리집합이 q의 진리집합에 포함된다는 것이므로 x <=a가 p를 포함한다는 의미이다. 즉, a는 아무리 작아봤자 5까지만 작아질 수 있다. a>=5인 것이다. 따라서 a의 최솟값은 5이다.  

r이 p이기 위한 필요조건이라는 것은 p이면 r이라는 의미로 x>=b가 p의 진리집합을 포함해야 한다는 것이다. 즉 b는 아무리 커봤자 -1을 넘지 못한다. b <=-1 인 것이다. 따라서 b의 최댓값은 -1이다. 

그러므로 답은 5 곱하기 -1인 -5가 된다. 정답은 ①번

 

3. 문제 9번

첫 번째 명제: x <0이고 y>0 이면 당연히 xy <0이다. 하지만 그 역을 성립하지 않는다. 왜냐하면 x>0이고 y <0 이기 때문이다. 따라서 첫 번째 명제는 충분조건이다.

두 번째 명제: 우선 절댓값이 포함된 조건이 제법 어려워 보인다. 물론 하나하나 따져보면 풀 수 있지만 굳이 그럴 필요는 없다. 반대로 접근하자. 명제의 역을 생각해 보자. xy>0 이면 x, y의 부호가 같다는 의미인데 이것을 만족하면 각각의 절댓값을 더하나 더해서 절댓값을 취하나 동일한 결과를 얻을 것이다. 그런데 x=y=0이라면 절댓값 조건을 만족하게 되는데 결론을 만족하지 않는다. 따라서 (나)에 들어갈 말은 필요조건이다.

세 번째 명제: 절댓값을 취하면 그 수는 0보다 크거나 같아진다. 0보다 크거나 같은 숫자 두 개를 더했더니 0이 나왔다는 것은 무엇을 의미할까? 바로 a=b=0이다. 조건의 진리집합은 a=b=0이다. 결론의 경우 ab=0 이면 a 또는 b가 0이라는 것이기 때문에 (다)에 들어갈 말은 충분조건이다.

따라서 최종 답은 ⑤번 충분, 필요, 충분이다.

 

4. 문제 10번

조건의 부정을 묻는 문제이다. 조건의 부정을 찾는 방법은 간단하다. 조건의 진리집합을 찾은 뒤 그것의 여집합을 생각하면 된다. 문제에 나오는 조건의 진리집합은 보이는 그대로이다. 이제 실수 전체에서 해당 부분을 덜어낸다고 생각하고 남는 부분을 부등호로 표시해 보면 x <=-2 또는 5 <x <7 이 된다. 등호가 있는 부분은 없애고 없는 부분은 추가하고 방향을 반대로 해주면 된다. 따라서 정답은 ④번이다. 여기서 혹시 ②번과 헷갈리는 학생이 있을 수 있는데, ②번 표현은 사실 진리집합이 없는 상황과 같다. -2보다 작거나 같으면서 5와 7 사이에 있을 수는 없기 때문에 헷갈리라고 적어놓은 문장일 뿐이다. 아마 모든 문구를 다 부정으로 바꾸는 기계적인 풀이를 하는 학생을 위해 준비해 놓은 보기가 아닐까 싶다.

 

5. 문제 11번

문장을 잘 읽어봐야 한다. Q가 P이기 위한 충분조건이 아니라 P가 Q이기 위한 충분조건이다. 즉, P⊂Q인데 Q를 보면 x가 두 부분으로 나누어져 있다. 반면 P는 한 부분이다. Q가 P를 포함한다는 것은 P의 한 부분이 Q의 어느 쪽이든 쏙 들어간다는 것을 말한다. 조금 눈썰미가 있는 학생은 알겠지만 P는 구간의 길이가 2이다. 즉 a값에 따라 구간이 달라지긴 하지만 그 구간의 길이가 늘 2인 특징이 있다. 머릿속으로 2칸짜리 막대기를 움직인다고 생각해 보면 이해가 쉽다.

이제 그 막대기를 Q의 첫 번째 부분(-3 <x <2) 들어가게 해 보자. Q의 왼쪽 부분에서 겹치게 할 심산으로 a-1이 만약에 -3이라고 생각하면 제법 그럴듯해 보이지만 등호가 문제이다. P는 등호가 포함되어 있는 반면, Q는 등호가 없기 때문에 a-1이 -3이라면 P는 Q에 아쉽게 포함될 수가 없다. 그거보다는 조금 더 P가 오른쪽으로 가야 한다. 즉 a-1>-3 이어야 한다. 

그렇다고 마냥 a-1이 커질 수는 없다. 너무 가버리면 또 벗어나버릴 테니까. a+1 은 마찬가지의 논리로 2가 되어서는 안 된다. 따라서 a+1 <2여야 한다. 이 두 가지를 모두 만족시키면 P는 Q의 첫 번째 부분에 포함되게 된다. 그래서 우린 -2 <a <1이라는 정답의 조각을 얻는다.

이제는 P가 Q의 두 번째 부분(3 <=x <=5)에 포함될 때를 생각해 보자. Q의 두 번째 부분도 길이가 2이다. P가 여기에 포함되기 위해서는 딱 한 가지 경우밖에는 없다. 바로 겹칠 때이다. 즉 a-1=3이면 P와 Q의 두 번째 부분은 서로 같아져서 P가 Q에 포함된다고 말할 수 있다. 따라서 a=4이다.

나온 정답을 모으면 -2 <a <1 또는 a=4이다. 이 중 정수 a는 -1, 0, 4 이므로 정답은 3개 ③번이다.

 

6. 문제 12번

글씨가 많아 괜히 헷갈릴 수 있지만 머릿속에 도식화를 잘 시키면 오히려 쉬워지는 문제이다.

우선 ㉮ 비만인 사람 -> 성인병 위험이 크다. ㉯ 운동을 X -> 비만이다. 를 보면 ㉯ 를 ㉮ 앞에 붙인다고 생각하면 3단 논법이 완성된다. 그리고 보통 이런 문제는 이렇게 바로 3단 논법이 안된다고 해도 대우명제까지 고려해 보면 대부분 3단 논법으로 두 명제가 붙는 케이스가 굉장히 많다. 

다시 문제로 돌아와서 두 명제를 연결하면 운동을 X -> 비만 -> 성인병 위험이 크다 로 볼 수 있다.

우리가 이것을 연결함으로써 새롭게 얻은 사실은 운동을 안 하면 성인병 위험이 커다란 사실이다. 아마 이 명제가 보기에 있거나 혹은 이것의 대우명제(성인병 위험이 크지 않은 사람은 운동을 한 사람이다)가 보기에 있을 가능성이 농후하다. 

보기 ⑤번에 대우명제가 나와있다. 따라서 답은 ⑤번이다.

 

 

7. 정답모음

7. ①

8..①

9. ⑤

10. ④

11. ③

12. ⑤