[수학 유형 정리] 2차 방정식 완벽하게 정리하기

2차 방정식 총 정리하기

2차 방정식은 고등학교 범위에서 가장 많이 등장하는 방정식의 형태로 그 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 방정식은 어려운 개념이 아니지만 헷갈리는 개념이 있을 수 있으므로 헷갈리지 않도록 확실하게 정리하는 것이 중요합니다. 지금부터 2차 방정식을 정리해 보겠습니다.

 

2차 방정식 내용 정리

 

1. 개요

우선 2차 방정식이 무엇인지부터 알아보고 시작하겠습니다. 2차 방정식은 미지수의 최고차항이 2차인 방정식을 의미합니다. 그렇기 때문에 문자의 수가 2개인 2차 방정식도 존재할 수 있습니다. 우린 그걸 2원 2차 방정식이라고 부릅니다. 여러분이 상상하는 2차 방정식은 그래서 사실 1원 2차 방정식입니다. 그럼 지금부터 두 경우를 나누어서 정리해 보겠습니다.

 

2. 미지수 개수에 따른 2차 방정식의 종류

미지수 개수에 따라 1원 2차 방정식과 2원 2차 방정식으로 나뉩니다.

 

1. 1원 2차 방정식

미지수가 1개인 2차 방정식이다. 우리가 흔히 생각하는 이차방정식인 ax^2+bx+c=0이다. 여기서 주의할 점은 a는 0이 아니라는 것이다.

우리가 문제를 풀 때 간혹 방정식 ax^2+bx+c=0 이 있다고 적혀있을 때가 있다. 겉보기에는 2차 방정식처럼 생겼지만 사실 2차 방정식이 아닐 수 있다. a가 0일 수 있기 때문이다. 따라서 최고차항 계수에 문자가 들어가 있다면 언제나 해당 문자가 0이 될 수 있는지 여부를 체크해야 한다. 물론 이 글에서는 2차 방정식을 다루기 때문에 a가 0이 아니라는 가정하에 언급할 것이다. 

2차 방정식의 풀이는 사실 너무나 명쾌하다. 바로 근의 공식이다. x=(-b  ± sqt(b^2-4ac))/2a라는 공식은 2차 방정식을 완벽하게 풀 수 있는 공식이다. 이 근의 공식은 또 크게 3가지의 결과물을 나타낼 수 있는데, 바로 D = b^2-4ac의 부호에 따라서 달라진다. 

D>0 이면 x는 2가지의 실수가 나오게 되는데 우린 이것을 "서로 다른 두 실근"이라고 표현한다.

D=0 이면 x는 1가지의 실수만 가지게 되는데 우린 이것을 "중근"이라고 표현한다.

D <0 이면 x는 2가지의 허수를 가지게 되는데 우린 이것을 "서로 다른 두 허근"이라고 표현한다.

우린 그리고 이 D는 판별식이라고 부른다.

방정식은 함수가 x축과 만나는 점이라고 했다. 그리고 x축은 실수만 있는 축이다. 이것이 의미하는 것은 무엇일까? 바로 D의 부호에 따라 y=ax^2+bx+c 함수가 x축과 만나는 점의 개수가 달라지는 것을 의미한다. D <0인 경우는 그래서 x축과 만나지 않고도 허수인 서로 다른 두 개의 근을 가지게 되는 것이다. 

근의 공식을 활용한 2차 방정식의 해 찾기는 이렇게 정리된다.

그럼 이 무적의 공식을 가지고 있는데 왜 또 다른 방법을 알 필요가 있을까? 그럼에도 우린 다른 방식을 하나 배웠다. 바로 인수분해이다. 인수분해를 배우는 이유는 고차방정식의 문제풀이 용도도 있지만, 2차 방정식을 풀 때 근의 공식만 활용한다면 효율이 떨어지기 때문이다.

수험생들은 결국 시간과의 싸움이다. 1분 1초가 급하게 문제를 풀어야 하는데 나올 때마다 근의 공식을 쓸 수는 없는 노릇이다. 그렇기 때문에 존재하는 방법이 바로 인수분해이다. 계수를 모두 정수로 만든 뒤 (ax+b)(cx+d)=0 형태로 인수분해 시킬 수 있도록 해야 한다. 그 방법은 고1 1학기 다항식 단원에서 배우는 내용을 활용하면 된다.

 

2. 2원 2차 방정식

미지수가 2개인 2차 방정식이다. 우리 교육과정에서는 볼일이 거의 없다. 그 이유는 바로 특수한 상황이 아니면 해가 무수히 많기 때문이다. 기본적으로 방정식이 1개라는 가정하에 미지수는 1개여야만 풀 수 있다. 그것도 5차 이상의 방정식은 일반해도 존재하지 않는다. 하물며 2차 방정식인데 문자가 2개이면 이것은 해가 무수히 많은 방정식이다. 다만, 특수한 상황일 때는 풀 수 있는데 바로 실수^2+실수^2 = 0 인 형태가 되었을 경우이다. (x-2)^2 + (y-3)^2 =0를 생각해 보자 실수를 제곱하면 언제나 0보다 크거나 같은데 그 둘을 더했더니 0이 나왔다고 한다. 그럼 그 두 수는 무엇일까? 둘 다 0일 수밖에 없다. 이런 특별한 케이스가 아니고서는 사실상 이런 형태는 안 나온다고 생각하면 된다.

따라서 우리는 1원 2차 방정식에 집중하고 그중에서도 인수분해가 집중하는 것이 맞겠다.