[수학 유형 정리] 1차 방정식 완벽하게 정리하기

1차 방정식 내용 정리

1차 방정식 완벽 정리

오늘 알아볼 내용은 바로 1차 방정식입니다. 가장 기본적인 형태의 방정식이자 중학교에서 처음 배운 내용임에도 불구하고 1차 방정식을 다루는데 어려움을 겪는 학생들이 있어 이 내용을 적게되었습니다.

 

1차 방정식이란?

1차 방정식이란 미지수가 포함된 변수의 최고차항이 1차인 방정식을 의미합니다. 그래서 이론적으로는 x+y=1과 같은 식도 1차 방정식입니다. 해당 식은 정확하게는 2원 1차 방정식입니다. 그러나 우리가 궁금해하고 다룰 것은 이런 것은 아닙니다. 우리는 오늘 1원 1차 방정식을 다룰 예정입니다.

 

1차 방정식 풀이

사실 많은 학생들이 1차 방정식을 푸는 것을 왜 정리하는지 궁금해할것이라고 생각합니다. 너무나 간단하기 때문입니다. 여러분께 문제를 내겠습니다. ax+b=0 라는 1차 방정식의 해는 무엇인가요? 상수항b를 우변으로 넘기고 x의 계수인 a로 나누어주면 되는 거 아닌가? 답은 x=-b/a 라는 생각을 지금 하고 계시다면 반은 맞고 반은 틀렸습니다. 지금부터 정확한 풀이를 알려드림과 동시에 1차 방정식을 풀때 주의해야할 사항을 말씀드리겠습니다.

1. 문자로 나눌때는 언제나 경계하라

지금 1차 방정식을 풀때 우리는 a로 나눌 필요성이 생겼습니다. a는 어떤 숫자인지 우린 모르기 때문에 a가 0일 가능성을 배제해서는 안됩니다. 문제마다 상황이 다르기 때문에 a가 0이 아닐 수 있겠지만 특별히 언급이 없는한 문자로 나눌때는 언제나 해당 숫자가 0일때와 0이 아닐때로 구분지어 풀이를 진행하여야 합니다.

2. 여러 경우의 수가 존재한다면 나누어서 답해라

우리는 우리도 모르게 정답이 1개인 것에 익숙해져있습니다. 그렇다보니 답이 케이스마다 다른 경우를 보았을때 어쩔줄 몰라하는 경우가 발생합니다. 그럴때는 답할 수 있는 단위로 쪼개서 답을 해주면 됩니다. 이제 두 가지 주의사항을 ax+b=0 를 푸는 것에 적용시켜보겠습니다. 

 

ax+b=0 에서 상수항을 우변에 이항시키면 ax=-b 가 됩니다. 이때 a로 나누고 싶지만 우린 두 가지 평행세계를 구축해야 합니다. 바로 a=0일때, a≠0일때 입니다.

ⓛ 만약 a≠0 이라면 너무나 간단합니다. 바로 지체없이 a로 나누어주면 됩니다. 따라서 x=-b/a 가 됩니다.

② 만약 a=0 이라면 우린 a로 나눌 수 없습니다. 좌변은 바로 0이 되어버립니다. 그럼 0=-b 라는 식이 남게 됩니다. 여기서 처리를 못하는 학생들이 많을텐데요. 문제는 바로 b입니다. b가 뭔줄알고 답을 할 수 있죠? 라는 궁금증이 남게되는데요. 저의 두번째 조언을 떠올리시기 바랍니다. 우린 b 역시 경우의 수를 나눌 겁니다.

 1) 만약 b=0 이라면 우변과 좌변이 같아집니다. 항상 말이죠. x가 어떤 값이든 언제나 0=0 이 됩니다. 이때는 바로 x는 모든실수가 됩니다. 

 2) 만약 b≠0 이라면 우변과 좌변은 근본적으로 같을 수가 없습니다. 0과 0이 아닌수는 같을 수 없죠. 어떤 x를 넣어도 좌변과 우변은 같을 수 없습니다. 그렇기 때문에 x는 해가 없습니다. 

정리

일반적인 형태의 1차 방정식을 풀으라고 했다면 우리는 사실상 답을 세 경우로 나누어서 두꺼운 글씨처럼 모두 답해야합니다. 세 경우로 나눈 풀이방식이 최종 하나의 답이 되는 것이라고 생각하면 됩니다. 문제를 풀다보면 1차 방정식의 형태이지만 x의 계수에 문자가 포함되어있는 경우가 참 많습니다. 그럴때마다 제 조언 두 가지를 기억하고 문제를 풀어내었으면 좋겠습니다.