[고등학교 2학년 수학Ⅱ] 적분 단원 요점 정리

고등수학2 적분 단원 요점 정리

적분(부정적분, 정적분, 정적분의 활용) 요점 정리

오늘 알아볼 단원은 바로 수학Ⅱ의 적분이다. 미분을 먼저 배우다 보니 언제나 적분은 미분을 거꾸로 하면 된다는 설명으로 시작한다. 틀린 말은 아니나 이 개념을 계속 가지고 있다 보면 정작 적분의 진짜 의미를 놓치고 미분의 역연산으로 밖에 남지 않을 수 있다. 그렇다면 적분의 진짜 의미가 무엇인지 알아보자.

 

1. 개요

적분이란 나누어서 쌓는다는 뜻으로 기본적인 목적은 면적을 구함에 있다. 쉽게 구하기 어려운 도형의 면적을 구할 때 직접 구하는 것이 아닌 근사치를 먼저 구하고 점점 목표물에 접근하는 방식(구분구적법)을 사용한다. 그런데 그 방식과 미분이 밀접한 관계가 있다는 사실이 밝혀지면서 적분이라는 연산이 비로소 의미를 가지게 된다. 

 

2. 단원의 위치

적분은 수학Ⅱ에서 마지막 단원에 위치한다. 마지막 단원이라는 하지만 이미 이 시기가 오면 대부분의 학생들은 선행학습으로 고2 2학기가 되기 전에 적분에 대해서 알고 있을 것이다. 정리를 위한 목적으로 단원의 위치 항목을 만들었지만 이제는 큰 의미가 없어진 것 같다. 

 

3. 요점 정리

이 단원은 부정적분, 정적분, 정적분의 활용 순서로 되어있는데 이 순서가 굉장히 중요하다. 부정적분을 먼저 정의 내리고 나서야 정적분을 정의 내릴 수 있기 때문이다. 단순하게 부정이냐 정이냐의 차이가 아니라 개념이 아예 다르기 때문에 그 흐름에 집중하여야 한다.

3-1. 부정적분

부정적분은 미분의 역연산이다. 이것보다 부정적분을 잘 표현할 설명은 없는 것 같다. 수학적 의미가 있다기보다는 말 그대로 어떤 함수를 미분해야 지금 내가 보는 함수가 나올까에 대한 답변이 바로 부정적분이다. 미분을 하면 상수항의 경우 무조건 사라지기 때문에 답변이 되는 함수는 무수히 많을 것이다. 상수를 뒤에 어떠한 것을 붙여도 맞는 답이 될 테니 말이다. 그래서 부정(정할 수 없다) 적분이라는 이름이 생긴 것이다. 이 단원에서는 그동안 익숙해왔던 미분 연산의 습관을 버리고 거꾸로 가는 적분 연산 그 자체에 익숙해지는 것이 포인트이다. 그동안 계속 차수를 계수에 곱하고 차수하나를 깎는 것에 많이 익숙해져 있을 텐데 이걸 거꾸로 하려고 하면 되게 헷갈린다. 적분을 하다가 미분을 다시 하게 되면 또 헷갈린다. 사칙연산을 다시 배운다는 느낌으로 연습해 보자.

 

3-2. 정적분

이제 적분의 진짜 의미가 시작된다. 부정적분은 하면서도 이걸 왜 거꾸로 하는지 의문이 들었다면 정적분은 그 이유를 알려주는 단원이다. 정적분을 단순히 integral에 구간을 잡아서 계산하니까 숫자가 정해지고 그래서 정적분이라는 이름이 붙었다고 생각하면 큰 오산이다. 우선 1. 개요에도 적혀있지만 적분을 모르던 시절 과거 수학자들은 휘어진 곡선을 포함한 넓이를 구하는 것이 목표였다. 직사각형, 삼각형, 오각형의 넓이는 잘 알겠는데 대체 y=x^2과 x축, x=2라는 도형으로 둘러싸인 넓이는 어떻게 구할 수 있을까?

그들은 고민 끝에 극한을 활용하기로 했다. 구하고자 하는 넓이와는 다르지만 잘게 자른 직사각형을 붙여서 제법 유사한 넓이를 가지는 도형을 만든다. 그다음 잘게 자르는 구간을 점점 작게 하였을 때 이 넓이가 어디로 가는 지를 계산하는 것이다. 이걸 바로 우리는 구분구적법이라고 부른다. 한자 그대로 풀이하면 구간을 나눈 뒤 구간별로 더해서 넓이를 산출하는 방법이다. 그러나 이 방법은 참신했지만 계산 과정이 너무 복잡하다. 한두 번은 하겠는데 함수가 바뀔 때마다 하려니 여간 골치 아픈 일이 아니다.

그때 멋진 성질이 발견된다. 그건 바로 구분구적법으로 구해 놓은 넓이 값이 알고 보니 부정적분을 통해 구한 함수에 구간의 양끝값을 대입하여 빼니 동일해진 것이다. 이게 바로 정적분의 기본원리이다. 그리고 이것이 넓이를 구할 때 쓰는 기호가 Integral이 된 이유이고 이름이 정적분이라고 불리게 된 이유이다. 처음에는 단순히 넓이를 구하는 목표로 시작했으나 적분이라는 연산을 통해 구한 부정적분과 넓이 사이에 밀접한 관련이 있는 것을 알게 되고 그때부터 적분과 넓이는 떼려야 뗄 수 없는 관계가 된 것이다.

따라서 부정적분과 정적분은 서로 밀접하지만 단순히 부정 vs 정의 차이만 존재하는 것은 아니라는 것을 알고 있어야 한다.

 

3-3. 정적분의 활용

수학의 늘 한결같은 레퍼토리는 개념을 알려준 뒤에 이것이 어떻게 활용되는지 탐구해 보는 것이다. 우리는 앞서 정적분이 넓이를 구하는데 쓰인다는 사실을 알고 있기 때문에 정적분의 활용에 무슨 내용이 나올지는 쉽게 예측이 가능하다. 다양한 넓이들을 정적분을 활용하여 구하고 미분에서와 마찬가지고 속도와 거리 문제가 등장한다.

속도와 거리문제는 수능에 해마다 나온다고 해도 과언이 아니며 그 난도가 높을 수가 없기 때문에 반드시 맞춰야 한다. 속도와 거리 문제에서 가장 중요한 포인트는 바로 속도이다. 속도에서는 미분을 통해 가속도를 알 수 있고 적분을 통해 변위 혹은 이동거리를 알 수 있기 때문에 지리적 요충지 성격을 띠게 된다. 필자는 그래서 늘 속도 그래프를 그려놓고 상황판단을 하곤 했었다. 각자 스타일이 다르겠지만 속도 그래프를 알면 모든 사물의 움직임을 알고 있다고 생각하면 편하다.

 

4. 정리

이제 수Ⅱ 단원이 마무리되었다. 미분과 적분을 양 축으로 한 내용이니만큼 수Ⅱ는 크게 외울 내용이나 헷갈릴만한 내용은 없다 보니 오히려 수Ⅰ보다 쉽다는 생각을 하게 된다.