[수학 이야기] 아스트로이드(Astroid)

아스트로이드 개요

오늘 알아볼 용어는 아스트로이드라는 자취의 방정식입니다. 이 도형의 정의와 그래프 그리고 특징까지 함께 알아보도록 하겠습니다.

 

아스트로이드란?

아스트로이드(Astorid)의 사전적인 정의는 "반지름의 길이가 a인 원이 있고, 그 원 내부에 반지름이 1/4a인 원이 내접하고 있을 때 작은 원 위에 한 점을 표시하고 작은 원을 미끄러짐 없이 굴렸을 경우 생기는 그 점의 자취"입니다. 우선 그림을 통해 자취의 형태를 알아보시죠. 

아스트로이드 곡선(하늘색) (출처: 네이터 지식백과)

하늘색 곡선이 아스트로이드 곡선인데요. 약간 별모양을 띄고 있는 것을 알 수 있습니다. 작은 원의 빨간색 곡선과 큰 원의 빨간색 곡선이 서로 만나면서 미끄러짐 없이 굴러가는 구조이기 때문에 당연히 저 빨간색들의 길이는 서로 같습니다.

사이클로이드의 경우 물리학적으로도 의미가 있었으나 아스트로이드 같은 경우는 아쉽게도 큰 직관을 주는 의미는 없어 보이네요. 별모양을 수학적으로 그리고 싶을 때 해당 곡선의 방정식을 이용해서 그릴 순 있겠네요. 참고로 이 곡선은 17세기 베르누이가 발견했다고 알려져 있습니다. 

아스트로이드의 특징

아스트로이드는 그 곡선의 길이, 곡선으로 둘러쌓인 넓이가 비교적 간단한 형태로 나와 한번쯤 유도해보고 싶은 욕심을 자극하는데요. 수식기능이 제공되지 않아 해당 블로그에서 수식을 다 적어볼 수는 없지만 대략적으로 자취의 방정식을 구해보고 그 길이, 넓이를 구해보겠습니다.

아스트로이드 곡선 세부 (출처: 네이버 백과사전)

바로 위에 그림을 보시면 각도가 2개 있습니다. 저는 이 둘을 구분하기 위해 theta와 pi라고 지칭하겠습니다. 우리는 P의 자취를 구하는 것이 목표인데요 우선 P의 자취를 구하는 접근방식은 다음에 같습니다.

①작은 원의 중심의 자취를 구한다.

②작은 원의 중심을 기준으로 P의 위치(얼마나 떨어져 있는지)를 구한다.

③1번과 2번의 결과를 서로 더한다.

우선 ①번부터 해보겠습니다.

이 내용은 비교적 간단합니다. 작은원의작은 원의 중심은 반지름이 3/4a(= a - 1/4a)이면서 중심각이 theta인 원의 자취의 방정식으로 정의됨을 알 수 있습니다. 따라서 작은 원의 중심은(3/4a*cos(theta), 3/4a*sin(theta))임을 알 수 있습니다.

다음은 ②번을 진행해 보겠습니다.

여기서부터 조금 헷갈릴 수 있는데요. 작은 원의 중심을 원점이라고 마치 생각한다면 점 P는 당연히 (1/4a*cos(pi), 1/4a*sin(pi)) 일 것입니다. 여기서 우리는 pi와 theta의 관계를 알아야 합니다. 왜냐하면 결국 자취의 방정식은 theta가 0에서 2파이까지 한 바퀴를 도는 것을 구하는 것이기 때문에 theta를 중심으로 구해야 하기 때문입니다. 그림상으로 보시는 것과 같이 우선 pi는 theta보다 제법 큽니다. 그리고 방향이 반대인데요. 동위각의 성질을 이용하면 pi = -3*theta라는 것을 아실 수 있습니다. 각도인데 음수가 곱해지는 것은 방향이 반대이기 때문입니다. 이제 대입을 해보면 (1/4a*cos(-3 theta), 1/4a*sin(-3 theta))가 됩니다.

이제 마지막 ③번입니다

두 식을 더하기 전에 ②번 결과에서 3 theta가 많이 거슬립니다. 삼각함수 안에 들어있는 변수 theta와 3 theta는 사실상 다른 변수 취급을 받기 때문입니다. 이를 없애주기 위해 Sin 3 배각 공식을 이용하고 두 식을 더해주면 최종적인 식은 (acos^3(theta), asin^3(theta)) 가 됩니다. 상당히 깔끔한 결과가 나오네요.

 

자취의 방정식을 구한 이상 곡선의 길이와 넓이를 구하는 건 큰 어려움이 없습니다. 각자 적분을 활용하여 구하면 곡선의 길이는 6a, 곡선으로 둘러싸인 넓이는 3/8a^2파이가 되는 것을 알 수 있습니다.

아스트로이드의 일반화

지금까지 아스트로이드를 알아보았는데요. 하다 보니 궁금증이 생깁니다. 꼭 작은 원이 큰 원의 4등분이어야만 이런 아름다운 식이 나올 수 있는가?라는 질문입니다. 물론 아닙니다. 이것을 더 확장(일반화)시키면 꼭 4등분이 아닌 n등분에서도 (n=2,3,4···) 위와 같은 식을 도출할 수 있는데요. 이렇게 작은 원이 큰 원 안쪽에서 내접하며 움직이는 자취를 하이포사이클로이드(hypocyclroid)라고 부릅니다. 가장 일반적인 형태인 작은 원의 반지름이 1/n*a 인 경우를 유도해 보시는 것도 재미일 것 같습니다. 그리고 그 길이와 넓이를 찾는 것까지도요.