[수학 이야기] 사이클로이드(Cycloid)

사이클로이드 개요

여러분들은 사이클로이드라고 들어보셨나요? 아시는 분은 아시겠지만 사이클로이드의 사전적인 의미는 원이 직선상을 구를 때 원위의 특정한 점이 그리는 자취(곡선)입니다. 글로는 충분한 설명이 될 것같지 않아 조금 더 자세한 설명과 함께 관련 일화를 소개해드리려 합니다.

 

사이클로이드란?

사이클로이드는 이름에도 드러나있지만 자전거 바퀴가 굴러가는 모습에서 많은 힌트를 얻을 수 있습니다. 자전거 바퀴의 한 부분에 점을 찍고 그 점만을 바라보면 나오는 흔적인데요. 백마디 글보다 그림을 보는 것이 더 이해가 빠를 것 같습니다. 

사이클로이드 곡선 그림(출처: 네이버 지식백과)

마치 언덕처럼 생겼군요. 크게 특별한 건 없어보입니다. 그렇다면 왜 이런 곡선에 특별한 이름까지 붙이고 우리가 다루게 되는 걸까요?

 

사이클로이드와 관련된 일화

때는 17세기, 영국의 한 수학자와 독일의 한 수학자간의 대립이 있었습니다. 둘은 서로가 미적분을 먼저 발견했다고 주장하고 있었습니다. 이는 실제로 양 국가간의 자존심 문제로도 이어지고 있었는데요.

그러던 어느날 스위스 수학자 베르누이가 공개적으로 수학문제 하나를 제시했습니다 "높이가 다른 두 점이 있을때, 한점에서 다른 한점으로 중력만이 작용하는 환경에서 물체를 떨어뜨린다면 어떤 형태의 길을 따라가야 가장 빨리 떨어질까?" 많은 수학자들이 답변 서신을 보냈고, 이 서신들 중 눈에 띄는 서신이 하나 있었습니다. 베르누이는 비록 익명으로 도착한 서신이지만 그 풀이를 보고 바로 작성자를 알 수 있었다고 하는데요. 베르누이는 이렇게 말했다고 전해집니다. "사자는 그 발톱만 보아도 알 수 있다." 그 주인공은 바로 아이작 뉴턴(영국)입니다. 네 맞습니다. 뉴턴은 오늘날 많은 학생들을 고통스럽게 하는 미분을 발견하고 활용하여 해당 문제를 단 몇시간 만에 풀어냈다고 알려져 있습니다. 독일의 수학자 라이프니츠 역시 해당 문제를 풀어 제출했다고 합니다. 그 곡선이 무엇인지 눈치채셨겠지만 바로 사이클로이드입니다.

(다른 게시글에서 자세하게 설명드리겠지만 그래서 누가 미적분학을 먼저 발견했냐고요? 둘다 독자적으로 발견하고 시기 역시 비슷해서 동시에 발견했다고 알려져 있습니다.)

 

사이클로이드의 또 다른 이름

사이클로이드는 또 다른 이름이 있습니다. 바로 최단강하선이 그것입니다. 최단강하선이란 가장 빠르게 강하할 수 있는 선을 뜻하는데요. 아래 그림에서 점 O에서 점 A까지 공이 가장 빠르게 갈 수 있는 길을 참고하시면 에 보이는 곡선이 바로 사이클로이드를 뒤집어놓은 곡선입니다.

붉은선이 사이클로이드 곡선(출처: https://blog.naver.com/commoon/221514302343)

보통은 파란색 직선이 가장 빠를거라고 생각하지만 우리의 직관을 가볍게 비웃듯 빨간색 곡선이 가장 빠르게 내려갈 수 있는 경로라고 합니다. 이 곡선은 롤러코스터, 워터슬라이드, 한옥 등에서도 찾아볼 수 있고 다양한 성질들을 가지고 있어 현대에도 많이 활용되고 있습니다.