[고등학교 2학년 수학Ⅱ] 미분 단원 요점 정리

고등수학2 미분 단원 요점 정리

미분(미분계수, 도함수, 도함수의 활용) 요점 정리

이 글은 수학Ⅱ 대단원 중 하나인 미분에 대해서 알아볼 글이다. 워낙에 유명한 용어이기 때문에 처음에는 특유의 거부감이 있지만 막상 배워보면 별거 없다는 것을 알게 된다. 그리고 점점 활용하다 보면 큰 의미가 있다는 것을 알게 되는 재미있는 단원이다. 

 

1. 개요

미분은 미세하게 나눈다의 의미로 내가 궁금한 부분을 포함하는 큰 범위의 값을 먼저 찾고 점점 접근해 나간다는 기본 원리를 가지고 있는 개념이다. 수Ⅱ의 핵심내용 중 하나이자 이과학생들에게는 대학을 가서도 따라다닐 내용이라고 볼 수 있다. 평생 가야 할 친구라고 생각하고 적군보다는 아군이라고 생각하는 것이 편하다. 

 

2. 단원의 위치

미분 단원은 수학Ⅱ를 삼등분하였을 때 두 번째 단원(가운데 단원)에 위치한다. 글을 연속해서 모두 읽는 경우는 잘 없기 때문에 다시 얘기하지만 수학Ⅱ는 사실상 "미분과 적분"이라고 이름을 바꾸어도 될 만큼 미분과 적분 내용이 대부분을 차지하고 있다. 그렇기 때문에 두 번째 단원이라는 느낌보다는 핵심내용의 첫 번째 단원이라고 생각해도 무방하지 않을까 싶다. 

 

3. 요점 정리

중단원으로 구분된 요점정리는 디테일한 내용을 의도적으로 배제하고 단원에서 얻어가야 할 포인트에 대해서만 정리하였다. 본의 아니게 글의 제목만 보고 기대하는 내용이 아닐 수 있기 때문에 오해가 없길 바란다. 

 

3-1. 미분계수

우선 각자 미분계수를 한 단어로 설명해보자. 바로 떠오르는 단어는 바로 순간기울기일 것이다. 함수의 그래프 상에서 특정한 한 점에서 그린 접선의 기울기를 지금까지의 지식으로는 사실상 찾는 것이 불가능하다. 사실상이라는 표현을 굳이 쓴 이유는 방법이 없지 않지만 굳이 그 방법을 사용할 필요도 없고 대단한 방법이 아닐뿐더러 우리에게는 미분이 있기 때문이다.

미분계수 단원의 포인트는 대단한 것이 있지 않다. 미분계수의 정의를 명확하게 알고 이것을 계산할 수 있는지가 포인트이다. 여기서 미분계수의 정의를 알고 있는다는 것이란 단순한 그 수식을 외우는 것이 아니라 우리가 원래 알고 있었던 평균변화율 개념에서 시작하여 한 점이 다른 한 점으로 다가갈 때(극한) 평균변화율 값의 목표물이 바로 순간변화율일 것이라는 개념을 알고 있어야 한다. 물론 여기서 예리한 학생들은 눈치챘겠지만 극한값은 존재해야만 구할 수 있다. 따라서 순간변화율이 언제나 존재하는 것은 아니다. 그리고 미분계수가 구해진 다는 것은 미분이 가능하다는 것이고 이것은 그래프가 부드럽게 이어져있다는 것을 의미한다. 앞에서 배운 극한값이 있는 함수 < 연속함수 < 미분가능한 함수 순으로 만족시켜야 할 더욱 조건이 많아지고 그래프는 점점 부드러워진다고 생각하면 된다. 

이야기가 조금 샜는데 미분계수의 계산은 뒤에서는 사용될 일이 거의 없고 단순 계산이라는 생각 때문에 소홀히 하는 경우가 종종 존재한다. 하지만 실제로 수학의 흐름에서 이렇게 하나하나 계산을 하던 것이 나중에 어떻게 바뀌는지를 느끼기 위해서라도 단원에 충실하게 계산연습도 해보는 것이 좋다.

 

3-2. 도함수

도함수는 위에서 계산해본 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수를 의미한다. 즉, 미분계수에서 상수 x=a 대신 변수 x로 두는 순간 바로 정의 내릴 수 있다. 미분계수를 점마다 하나하나 구하느니 이 과정을 숫자형태를 살려서(변수로 지정해서) 구해놓는 개념이다. 그래서 도함수는 미분계수를 함숫값으로 가지는 함수라고 설명할 수 있겠다. 그리고 그 과정을 바로 미분이라고 한다. 이 단원은 미분에서 아주 진일보적인 부분을 담당하고 있는데 3-1. 미분계수 단원에서 계산을 성실하게 해 보았다면 상당히 속이 터지는 경험을 했을 것이다. 순간 기울기 하나를 구하기 위해 너무나 많은 노동이 들어가지 않았는가? 이제는 그럴 필요가 없다. 이 단원만 배우면 다항식의 미분은 마치 함수를 도함수로 번역하는 동시번역가가 된 것처럼 자연스럽게 할 수 있다. 바로 도함수의 성질 덕분인데 y=x^n을 미분을 바탕으로 합, 차, 곱의 미분법을 활용하면 모든 다항식의 미분은 편하게 할 수 있다. 이제는 더 이상 미분계수를 극한값 구하듯이 구하지 않아도 된다. 사실상 이제부터는 미분은 공식을 적용시키는 것처럼 기계적으로 하면 된다. 대신 방법에 매몰되어서 언제나 그 의미가 무엇인지를 놓치면 안 된다. 

 

3-3. 도함수의 활용

미분이야 빠르면 중학교부터 들어본 적이 있을 것이다. 혹자들은 수학의 꽃이라는 말도 했었고 미적분은 되게 어렵다더라 라는 소문도 들었을 것이다. 하지만 아직까지는 왜 그런지 느껴지지 않을 수 있다. 미분계수는 정의대로 극한값을 계산하는 되는 것이었고, 도함수는 오히려 미분을 쉽게 만들어주는 좋은 성질도 가지고 있었다. 그럼 미분은 대체 왜 어려운 것이며 어디서 쓰인다는 것일까에 대해 궁금증을 가질 수 있다. 그것에 대한 답이 바로 이 도함수의 활용 단원이다.

필자가 생각하는 이 단원의 포인트는 늘어난 함수의 정보를 바탕으로 그래프를 더욱 풍부하게 그릴 수 있다는 것이다. 여기서 풍부하다는 의미는 우리가 배운 극대, 극솟값과 같은 함수의 특징을 더 많이 가지고 있다는 뜻이다. 그래프를 그릴 수 있다는 것은 방정식, 부등식에서도 매우 유리하며 다양한 파생문제에서도 대처가 가능하다. 따라서 이 단원에서 꼭 얻어가야 할 것은 바로 극대, 극소를 기준으로 함수의 개형을 그리는 것이다. 이는 굉장히 획기적인 것으로 미분을 배우기 이전의 우리는 사실상 2차 함수까지 밖에 그래프를 그리지 못하였다. 하지만 이제는 어떠한 다항함수든 기본적인 개형은 다 그릴 수 있게 되었다. 파생문제는 말 그대로 파생이기 때문에 결국 함수의 그래프를 정확하고 빠르게 그릴 수 있는 것이 관건이다. 

 

4. 정리

미분을 배웠다는 것은 함수를 바라보는 시각이 한 차원 증가했음을 의미한다. 적분을 배우기 전까지 미분은 완벽에 가깝게 트레이닝하도록 하자.