[수학 유형 정리] 도함수를 활용한 그래프 그리는 방법 정리

도함수를 이용해 함수의 그래프를 그리는 방법 알아보기

고등학교 수학을 크게 두 부분으로 나눈다면 ①미적분과 ②미적분이 아닌 부분으로 나눠도 과언이 아닐 것입니다. 왜냐하면 미적분은 수학 2 전부를 할애하여 사용하고 있으며 이과생의 경우 선택과목으로 미분과 적분을 택하게 되면 교육과정 상 2년을 미적분만 하고 있기 때문입니다.

그중에서도 미분은 적분보다 우리에게 친숙하기도 하고 그 활용도가 높습니다. 오늘은 미분을 이용해서 함수의 그래프를 그리는 방법에 대해 자세하게 알아보려 합니다.

 

1. 개요

다들 아시겠지만 미분은 도함수를 구하는 과정이라고 보시면 됩니다. 즉, 미분이라는 단어보다는 도함수에 대해 우리가 정확하게 알고 있어야 하는데요.

도함수는 함수 f(x)의 순간기울기를 함숫값으로 가지는 함수를 f(x)의 도함수라고 부르고 기호로 f'(x)라고 적습니다. 그렇다면 우리는 도함수를 왜 배우는 걸까요? 우리가 볼 때는 모든 수학이 쓸모없어 보이겠지만 사실 모든 단원에는 다 이유가 있습니다. 특히, 도함수는 굉장히 큰 영향력을 미칠 수 있는 이유가 있습니다.

 

2. 도함수 f'(x)는 그래프 f(x)의 그래프 정보를 가지고 있다.

반복해서 말하지만 도함수는 f(x)의 순간기울기 정보를 가지고 있습니다. f(x)의 추가정보를 압축해서 가지고 있다고 생각하시면 됩니다. 도함수가 그래프 정보를 어떻게 가지고 있는지 알아보기 전에 먼저 그래프 정보가 무엇인지를 알아보겠습니다. 

그래프를 그리기 위해서는 기본적으로 개형을 먼저 알아야 합니다. 우리가 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등을 배울 때 나오는 그래프는 모두 사실 개형만을 가지고 그린 그림입니다. 왜냐하면 어차피 곡선이 휘어있기 때문에 그 휘어진 정도를 알아내서 그래프에 정확히 그리는 것은 실익도 없고 과도한 노력이 필요하기 때문입니다.

여기서 개형이라 함은 크게 네 가지 중 하나인데요.

①점점 느리게 증가 ②점점 빠르게 증가 ③점점 느리게 감소 ④점점 빠르게 감소

생각해 보시면 우리가 그리는 휘어진 그래프는 모두 이 네 가지 중 하나를 부분적으로 선택해서 그리고 있음을 알 수 있습니다. 예를 들어 가장 평범한 최고차랑의 계수가 양수인 이차함수의 경우 ③점점 느리게 감소하다가 ④점점 빠르게 증가하는 것을 붙여놓은 개형이라는 것을 알 수 있습니다. 글의 뒤에서 다루겠지만 물론 두 개형을 붙이는 경계에는 이차함수의 입장에서 부르는 꼭짓점이 있죠. 잠시 기억해 주세요. 이차함수의 꼭짓점은 순간기울기가 0이 되는 점입니다. 

자, 그럼 다시 돌아와서 결국 우리는 어떤 그래프의 네 가지 개형의 조합이 어떻게 이루어지는지를 파악하는 것이 그래프를 그리는 방법임을 알았습니다.

여기서 도함수를 주목해 봅니다. f(x)가 증가하는지 감소하는지는 도함수를 통해 쉽게 알 수 있습니다. 

 

3. 중요한 것은 도함수 함숫값의 부호

도함수로 어떻게 이 네 가지 유형을 알 수 있을까요? 아래 그림은 위에서 설명한 유형 ③과 ④를 붙여놓은 것을 그린 것입니다. 그림상에서 접선에 표시된 숫자는 위에서 말한 개형 숫자와는 별도입니다. 

도함수와 함수의 그래프

이차함수의 그래프에 접선을 그어보았습니다. 번호가 커질수록 접선의 기울기가 어떻게 되고 있나요? 점점 접선의 기울기가 커지고 있음을 알 수 있습니다. 주의해야 한 점은 기울기가 지금 음수이기 때문에 접선이 누워있는다고 해도 기울기 자체는 증가하고 있다는 것입니다. 그리고 이러한 기조는 계속 이어져서 접선의 기울기는 0이 되었다가 양수로 전환하여 접선의 기울기는 점점 커지게 될 것입니다. 

여기서 잊지 말아야 할 것은 도함수는 지금 저 접선들의 기울기를 함숫값으로 가지고 있는 함수라는 점입니다. 우리는 지금 위 단락에서 도함수의 함숫값에 대해 말한 것과 같습니다. 즉, 이 그래프에서 도함수는 서서히 증가하고 있는 증가함수라는 것을 알 수 있습니다.

그리고 파란색 접선이 만나는 접점에서의 도함수의 함숫값은 0입니다. 해당 접점을 기준으로 작은 쪽은 도함수의 함숫값이 음수일 것이고 접점보다 큰 범위에서는 도함수의 함숫값이 양수일 것입니다. 우리는 이렇게 도함수의 함숫값 부호나 도함수의 증감여부를 통해 그래프 개형을 알 수 있다는 것을 알았습니다. 

이제 도함수를 활용한 그래프 그리기라는 목표에 거의 다 왔습니다. 

 

4. 도함수로 개형 정하기

우리는 위에서 그래프가 어떤 개형에 있을 때 도함수의 조건을 알아보았습니다. 위의 그림은 하나의 그래프를 예시로 든 것이기 때문에 다른 개형을 그려놓고 도함수의 입장에서 생각해 본다면 다른 결과가 나오는 것을 알 수 있을 것입니다. 다른 예시들은 한번 스스로 정리해 보고 그 결과를 제가 아래에 적는 것과 비교해 보시면 좋을 것 같습니다. 

이제 네 가지 개형에 따른 도함수의 조건을 알아보겠습니다.

① 점점 느리게 증가: 도함수의 함숫값은 양수이고 도함수는 감소함수

② 점점 빠르게 증가: 도함수의 함숫값은 양수이고 도함수는 증가함수

③ 점점 느리게 감소: 도함수의 함숫값은 음수이고 도함수는 증가함수

④ 점점 빠르게 감소: 도함수의 함숫값은 음수이고 도함수는 감소함수

 

여기서 한 가지 디테일한 사항이 하나 있습니다. 바로 극점입니다. 극점은 아까 이차함수의 그래프에서 보시던 것처럼 그래프 개형이 변하는 점이라고 생각하시면 편한데요. 경계점 후보군이라고 생각하시면 됩니다.

그리고 또 한 가지 넘어간 부분이 있습니다. 바로 도함수의 증가, 감소함수에 대한 판단입니다. 도함수가 증가하는지 감소하는지를 알기 위해서는 도함수를 한번 더 미분해 보면 알 수 있습니다. 한번 더 미분한 함수를 이계도함수라고 부르는데요. 원래 함수 f(x) 입장에서는 미분을 두 번 했기 때문에 붙은 이름입니다. 이계도함수를 구해서 그 부호를 보면 도함수의 증감여부를 알 수 있습니다. 자 그럼 이제 그래프를 어떤 순서로 그리면 좋을지 정리해 보겠습니다.

 

5. 그래프 그리기

1. 도함수 f'(x)를 구한 뒤 도함수의 함숫값이 0이 되는 x값을 찾는다. 왜냐하면 우리는 그 점을 기준으로 좌우를 나누어 f(x)의 개형을 그릴 예정이기 때문입니다. 

2. 찾아진 x값을 기준으로 구간을 나누어 도함수의 함숫값 부호, 도함수의 증감함수 여부를 파악한다.

3. 도함수의 함숫값 부호와 증감여부에 맞는 개형을 찾는다.

4. 자연스럽게 이어서 그려본다.

 

6. 정리

정리하 보면 결국 우리가 학교에서 배운 내용이 전부이기는 합니다. 결국 개형별 도함수의 상태를 외워놓고 도함수가 0되는 x값부터 시작해서 개형을 그릴 수 있고 그 중추에 도함수가 있었다는 사실입니다. 다만, 이 과정을 혼자서 생각해 보고 개형별 도함수의 상태를 제시할 수 있어야 진짜 본인의 지식이 되는 것이라고 생각합니다. 한번 이해하고 외우는 것과 이해를 하지 못하고 우선 외우는 것은 큰 차이를 만들어냅니다. 여러분들은 전자이길 바라봅니다.